Однородные системы

 

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Если ранг матрицы однородной системы на единицуменьше числа неизвестных, то система имеет одну степень свободы, и ее решение можно записать через миноры матрицы коэффициентов матрицы . Для этого в матрице необходимо оставить линейно независимых строк, а затем вычислить миноры, поочередно вычеркивая столбцы и изменяя знак при каждом переходе.

Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

решение имеет вид

, где , если хотя бы один из определителей второго порядка не равен нулю.

 

►Пример 13.Решить систему

Решение.

Матрица коэффициентов . Определитель

Минор Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен двум и на единицу меньше числа неизвестных. Оставив две линейно независимых строки в матрице , получаем

.

Ответ запишем в виде вектора . ◄