рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Собственные значения и собственные векторы матрицы

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Собственные значения и собственные векторы матрицы - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Комплексное Число ...

Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец) , такой, что выполнено равенство

. (13)

Вектор называется в этом случае собственным вектором матрицы , соответствующим числу .

Такой собственный вектор – не единственный, т.к., если удовлетворяет уравнению (13), то и вектор - тоже удовлетворяет, где t – любое число, не равное нулю. Следовательно, собственный вектор определяется с точностью до множителя.

Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе

(14)

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

(15)

Уравнение (15) называется характеристическим для матрицы и представляет собой алгебраическое уравнение - ой степени относительно . Его корни и являются собственными числами матрицы .

Если матрица- диагональная, т.е.

, (16)

с разными числами по диагонали (), то собственные числа совпадают с диагональными элементами матрицы .

Как известно из курса алгебры , уравнение (15) имеет, по крайней мере, один корень, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы размера максимум собственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях .

►Пример 14.Найти собственные числа матрицы .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

Вычисляем определитель:

Уравнение имеет три действительных корня: , которые и являются собственными числами. ◄

Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа .

►Пример 15.Найти собственные векторыдля матрицыпримера 14.

Решение.

Найдем собственный вектор для числа . Для этого решим однородную систему

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение найдем через миноры матрицы :

Итак, собственный вектор имеет вид , где любое число, не равное нулю. Ответ можно писать при t=1, помня замечание, приведенное выше.

Аналогично находятся два других вектора. Советуем студентам найти их самостоятельно. ◄

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Собственные значения и собственные векторы матрицы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матрицы и действия с матрицами
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая

Упражнения.
1. Даны матрицы: Выполнить действия: а)

Определители
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера

Свойства определителей.
Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов. 1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

Упражнения.
1. Вычислить определители: а) ; б)

Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Матрица называется обратной к квадратной матрице

Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу: а) ; б)

Ранг матрицы
Рангом матрицы (обозначение:

Теорема Крамера.
Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных (10) Е

Упражнения.
Решить системы по формулам Крамера: 1) 2)

Решение систем с помощью обратной матрицы
Система из уравнений с

Упражнения.
Найти решение систем с помощью обратной матрицы: а) б)

Теорема Кронекера-Капелли.
Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы (

Упражнения.
Исследовать и решить системы уравнений: 1. Ответ:

Однородные системы
Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Упражнения.
Решить системы: 1) 2)

Упражнения.
Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц: 1)

Действия с матрицами на компьютере в EXCEL
Рассмотрим применение табличного процессора EXCEL для работы с матрицами. Процессор EXCEL работает с числовыми матрицами и может осуществлять следующие опер

Сложение матриц.
Рис.3 В ячейки

Умножение матрицы на число.
Рис.4 В ячейки

Вычисление определителя, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
Перечисленные операции проводятся с помощью соответствующих встроенных функций. При выполнении операций транспонирования, умножения матриц, нахождения обратной матрицы необходимо предварите

Вычисление ранга матрицы.
Будем последовательно получать нули в первом, втором и т.д. столбцах ниже диагональных элементов.

Решение систем линейных уравнений в EXCEL
Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 11.

Ввод матрицы.
In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фиг

Определение ранга матрицы.
In[18]:= MatrixRank[m1] Out[18]= 3 Решение систем линейных уравнений. In[17]:= Solve[{2 x + y - z + 2 t == 12, -x + 2 y + 4 z + 3 t == 4, 2 x + y + 4 z -