Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу (см., например, ). Обозначается определитель одним из символов .
Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, – равен самому числу:
.
Для определителей второго и третьего порядков имеем:
; (1)
. (2)
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):
Рис. 2
Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных на рисунке одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных простых схем не составлено, и для вычисления надо использовать упрощения, основанные на свойствах определителей.
Введем несколько важных понятий.
Минором определителя −го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием −ой строки и −го столбца.
В общем случае минором прямоугольной матрицы называется любой определитель, полученный из нее в результате вычеркивания каких-то строк или столбцов.В частности, сам определитель квадратной матрицы тоже является ее минором. Миноры выделены в силу их важности для приложений, что видно из формул (3)-(4).
Алгебраическим дополнением к элементу определителя называется выражение
.
Для вычисления определителя −го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ()−го порядка:
(3)
. (4)
Формулы (3)-(4) представляют разложение определителя по элементам строки (столбца) и в частности показывают, что определитель не изменяется при перестановке строк со столбцами, т.е. определители исходной матрицы и транспонированной к ней равны.