рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Ранг матрицы

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ранг матрицы

Ранг матрицы - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Рангом Матрицы ...

Рангом матрицы (обозначение:) называется порядокотличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто базисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом .

Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.

►Пример 7. Найти ранг матрицы .

Решение.

Преобразуем матрицу:

Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄

При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.

С рангом матрицы связано понятие линейно зависимых (независимых) векторов. Пусть имеется система из векторов

Линейной комбинацией векторов , называется выражение

где - числа.

Если , то, комбинация , называется тривиальной комбинацией. Она, очевидно, равна =(0,0,..,0), где - нулевой вектор.

Векторы называются линейно независимыми, если любая нетривиальная комбинация этих векторов не равна нулевому вектору.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если система из векторов линейно зависима, то один из них есть линейная комбинация остальных.

Ранг матрицы определяет наибольшее число линейно независимых строк (столбцов), рассматриваемых как векторы. Так в матрице из примера 7 три первых строки линейно независимы, а две другие являются их линейной комбинацией. Например, для четвертой строки справедливо:

Матрица имеет и ровно три линейно независимых столбца. Например, для пятого столбца имеем

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а); б);

в); г). Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

2. Для матрицы примера 7 получить линейную комбинацию первых трех строк, равную пятой строке. Ответ: .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ранг матрицы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матрицы и действия с матрицами
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая

Упражнения.
1. Даны матрицы: Выполнить действия: а)

Определители
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера

Свойства определителей.
Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов. 1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

Упражнения.
1. Вычислить определители: а) ; б)

Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Матрица называется обратной к квадратной матрице

Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу: а) ; б)

Теорема Крамера.
Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных (10) Е

Упражнения.
Решить системы по формулам Крамера: 1) 2)

Решение систем с помощью обратной матрицы
Система из уравнений с

Упражнения.
Найти решение систем с помощью обратной матрицы: а) б)

Теорема Кронекера-Капелли.
Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы (

Упражнения.
Исследовать и решить системы уравнений: 1. Ответ:

Однородные системы
Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Упражнения.
Решить системы: 1) 2)

Собственные значения и собственные векторы матрицы
Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы

Упражнения.
Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц: 1)

Действия с матрицами на компьютере в EXCEL
Рассмотрим применение табличного процессора EXCEL для работы с матрицами. Процессор EXCEL работает с числовыми матрицами и может осуществлять следующие опер

Сложение матриц.
Рис.3 В ячейки

Умножение матрицы на число.
Рис.4 В ячейки

Вычисление определителя, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
Перечисленные операции проводятся с помощью соответствующих встроенных функций. При выполнении операций транспонирования, умножения матриц, нахождения обратной матрицы необходимо предварите

Вычисление ранга матрицы.
Будем последовательно получать нули в первом, втором и т.д. столбцах ниже диагональных элементов.

Решение систем линейных уравнений в EXCEL
Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 11.

Ввод матрицы.
In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фиг

Определение ранга матрицы.
In[18]:= MatrixRank[m1] Out[18]= 3 Решение систем линейных уравнений. In[17]:= Solve[{2 x + y - z + 2 t == 12, -x + 2 y + 4 z + 3 t == 4, 2 x + y + 4 z -