Данные для расчета коэффициентов Фехнера

Магазин	Число работников, тыс. чел.	Товарооборот, усл. ден. ед.	Отклонение от средних величин и	Сравнение знаков и
к					совпадение	несовпадение
	0,2	3,1	+0,0	-0,9
	0,1	3,1	-0,1	-0,9
	0,4	5,0	+0,2	+1,0
	0,2	4,4	+0,0	+0,4
	0,1	4,4	-0,1	+0,4
Итого	1,0	20,0	-	-

 

По (1) имеем

.

 

Направление взаимо­связи в вариациях численности работников и объема товарооборота - положительное (прямолинейное): знаки в отклонениях и в своем большинстве (в 3 случаях из 5) совпадают между собой. Тесно­та взаимосвязи переменных по шкале Чеддока - слабая.

Коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона, в отличие от коэффици­ента Фехнера, учитывают не только знаки, но и величины отклонений переменных. Для их расчета используют разные методы. Так, соглас­но методу прямого счета по несгруппированным данным, коэффици­ент парной корреляции Пирсона имеет вид

. (2)

 

Этот коэффициент также изменяется от -1 до +1.

При наличии нескольких переменных рассчитывается коэффициент множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона. Для трех переменных х, у, z он имеет вид

 

. (3)

 

Этот коэффициент изменяется от 0 до 1.

Если элиминировать (совсем исключить или зафиксировать на постоянном уровне) влия­ние z на x и у, то их "общая" связь превратится в "чистую", образуя чистый (частный) коэффициент линейной корреляции Пирсона

 

. (4)

 

Этот коэффициент изменяется от -1 до +1. Квадраты коэффи­циентов корреляции (2) - {4) называются коэффициентами (индекса­ми) детерминации, соответственно, парной, чистой (частной), мно­жественной (совокупной):

 

;

 

; (5)

 

.

 

Каждый из коэффициентов детерминации изменяется от 0 до 1. Он оценивает степень вариационной определенности в линейной взаи­мосвязи переменных, показывая долю вариации одной переменной у, обусловленную вариацией другой (других) – х и y. Многомерный случай наличия более трех переменных здесь не рассматривается.

Согласно работам английского статистика Р. Э. Фишера (1890 - 1962), статистическая значимость парного и чистого (частно­го) коэффициентов корреляции Пирсона проверяется в случае нор­мальности их распределения, на основании t-распределения англий­ского статистика В. С. Госсета (псевдоним "Стьюдент"; 1876 - 1937) с заданным уровнем вероятностной значимости и имеющимися степе­нями свободы , где m - число связей (факторных перемен­ных). Для парного коэффициента имеем его среднеквадратическую ошибку и фактическое значение t-критерия Стьюдента

 

; . (6)

 

Для чистого коэффициента корреляции при расчете его , вместо надо брать , так как в этом случае т = 2 (две факторные переменные х и z). При большом числе , вместо или в (6) можно брать п, пренебрегая точностью расчета.

Если , то коэффициент парной корреляции - общий или чистый является статистически значимым, а при - статистически незна­чимым.

Значимость коэффициента множественной корреляции R про­веряется по F-критерию Фишера путем расчета его фактического зна­чения

 

. (7)

 

При коэффициент R считается статистически значимым с заданным уровнем значимости и имеющимися степенями свободы и , а при - статистически незначимым.

В совокупностях большого объема для оценки значимо­сти всех коэффициентов Пирсона вмести критериев t и F применяется непосредственно нормальный закон распределения (табулированная функция Лапласа-Шеппарда).

Наконец, если коэффициенты Пирсона не подчиняются нор­мальному закону, то в качестве критерия их значимости используется Z-критерий Фишера, который здесь не рассматривается.

Условный пример расчета (2) - (7) дан в табл. 12.2, где взяты исходные данные табл. 12.1 с добавлением к ним третьей переменной z - размера общей площади магазина (в 100 кв. м).