Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.
Дисперсия имеет следующие свойства.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсию не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсию не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в k2 раз, а среднее квадратическое отклонение ¾ в k раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величинами:
Если А = 0, то приходим к следующему равенству:
т. е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую:
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта ряда:
хi2.
4) находят сумму квадратов вариантов:
5) делят сумму квадратов вариантов на их число, т. е. определяют средний квадрат:
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:
Рекомендация:
Обратитесь к примерам по указанным ссылкам: пример 6.3.1.
Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.
Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ) следующий:
1) определяют среднюю арифметическую:
2) возводят в квадрат полученную среднюю:
3) возводят в квадрат каждый вариант ряда:
4) умножают квадраты вариантов на частоты:
5) суммируют полученные произведения:
6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака:
7) определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т. е. дисперсию:
Рекомендация:
Обратитесь к примерам по указанным ссылкам: пример 6.3.2.
Средняя величина отражает тенденцию развития, т. е. действие главных причин. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.