Моделирование временных рядов - раздел Математика, СТАТИСТИКА Следуя Основной Идее Статистики, При Анализе Временного Ряда Его Видимую Изм...
Следуя основной идее статистики, при анализе временного ряда его видимую изменчивость стараются разделить на закономернуюи случайнуюсоставляющие.
Закономерныеизменения членов временного ряда подчиняются какому-то определенному правилу и поэтому предсказуемы. Эта составляющая может быть вычислена в каждый момент времени как некая функция от текущего момента времени. Эта функция может зависеть как от момента времени, так и от ряда других параметров. Когда эти параметры неизвестны, приходится оценивать их по имеющимся наблюдениям — как, например, бывает в случае регрессии.
Под закономерной(детерминированной) составляющей временного ряда {y1, y2, …, yn} понимается числовая последовательность {d1, d2, ..., dn}, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени.
Изменчивость, оставшаяся необъясненной, иррегулярна и хаотична и носит название случайнойкомпоненты. Для ее описания необходим статистический подход. Если мы полностью выявили закономерную составляющую в поведении временного ряда, то оставшаяся часть должна выглядеть хаотично и непредсказуемо. Ее обычно обозначают в следующем виде: {ε1, ε2, ..., εп}.
Другими словами, прогноз и моделирование временных рядов включает как этап анализа, или декомпозиции, так и этап синтеза, сборки ряда в единое целое. При проведении этапов анализа и синтеза ничто не должно остаться лишним и непроясненным; если это так, то можно говорить, что с точки зрения статистики о временном ряде нам известно все. К сожалению, в большинстве случаевэтот идеал недостижим.
Остановимся более подробно на этапе анализа временного ряда. Раздают аддитивнуюи мультипликативную моделианализа временного ряда. Формы разложения (декомпозиции) временного ряда на детерминированную и случайную составляющие различаются в этих моделях.
Аддитивной моделью временного ряда называется представление ряда в виде суммы детерминированной и случайной компонент, а именно: yt = dt + еt, t = 1,2,..., п.
Мультипликативной моделью временного ряда называется представление ряда в виде произведения детерминированной и случайной компонент, а именно: yt = dt * et, t = 1,2, ..., п.
Если в приведенном соотношении перейти к логарифмам, то получится аддитивная модель, но не для самих yt, а для их логарифмов, т. е. . Это соотношение объясняет распространенность логарифмических шкал при анализе экономических временных рядов.
В рамках детерминированной компоненты определим тренд, сезонную и циклическую компоненты:
• тренд – trt,
• сезонную компоненту – st,
• циклическую компоненту – ct.
Для определенности изложения рассмотрим аддитивную модель временного ряда (хотя это может быть и мультипликативная или какая-либо иная смешанная схема), т. е. возьмем представление вида:
dt= trt + st + ct.
В последнее время к указанным трем компонентам добавляют еще одну компоненту, именуемую интервенцией.
Под интервенциейпонимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.
Примером интервенции могут служить события «черного вторника» (11 октября 1994 г. курс доллара за день вырос на 40% с 283 рублей до 392 рублей), а также финансовый кризис августа 1998 г., когда курс рубля поотношению к доллару упал втрое.
К наиболее часто используемым моделям тренда относят следующие:
• линейная функция: ,
• парабола: ,
• экспонента: .
Модели сезонной компоненты. Эти модели базируются на использовании гармонического анализа. Так, для полигармонической модели имеем:
Модели случайной компоненты. Опыт показывает, что временной ряд редко удается полностью описать одной лишь детерминированной компонентой. В ней часто присутствует нерегулярная, случайная компонента. Ее поведение нельзя точно предсказать заранее. Для ее описания приходится привлекать понятия из теории вероятностей.
Для описания нерегулярной компоненты и всего временного ряда в целом используют понятия случайного (стохастического) процесса или случайной последовательностикак процесса от целочисленного аргумента. Важным классом случайных процессов являются нормальные, или гауссовские, случайные процессы.
Простейшей моделью случайной компоненты временного ряда с точки зрения математики является последовательность независимых случайных величин. Среди них наиболее важные – «белый шум» и «гауссовский белый шум».
Белым шумом называется временной ряд (случайный процесс) с нулевым средним, если составляющие его случайные величины независимы и распределены одинаково.
Гауссовский белый шум — это последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и общей дисперсией.
Прогнозирование
В общем случае к прогнозированию можно подступиться двумя путями.
Первый — попытаться вскрыть причинно-следственный механизм, т. е. найти факторы, определяющие поведение прогнозируемой величины. Этот путь ведет к экономико-математическому моделированию.
Второй — не вдаваясь в механику движения, попытаться предсказать будущее положение, анализируя временной ряд показателя изолированно. Методы прогнозирования существенно различаются в зависимости от того, является ли прогнозирование краткосрочнымили среднесрочным.В первом случае прогноз строится на один-два момента времени (квартал, месяц, неделю и т. п.) и, как правило, оперативен и непрерывен. В большинстве случаев краткосрочного прогнозирования данные берутся за месяц либо за неделю, соответственно прогноз необходимо построить на один-двамесяца или неделю вперед. При среднесрочном прогнозировании данные, как правило, ежегодные, а прогноз необходимо строить на пять-десять лет вперед.
Указанные различия между задачами кратко- и среднесрочного прогнозирования приводят к необходимости решать их различными методами.
Более подробно остановимся на краткосрочном прогнозировании. В качестве иллюстрации методологии краткосрочного прогнозирования рассмотрим метод экспоненциального сглаживания.
Традиционным методом прогнозирования будущего значения показателя является усреднение прошлых значений. Пусть имеется ряд данных {..., dt-n+i, ..., dt-1, dt}. Возьмем последние п значений, вычислим по ним среднее ut+1, которое будет рассматриваться в качестве прогноза на момент времени t + 1, т. е.
Пример: При п = 3 имеем
Согласно последней формуле вес отдельного наблюдения, равный 1/3, указывает на долю вклада его значения в значение среднего. При этом более свежие данные (dt) имеют тот же вес, что и более старые (dt-1, dt-2). Вместе с тем можно ожидать, что более важное значение будут иметь свежие данные, и поэтому они должны иметь больший вес. Это можно выразить, например, в следующем виде:
Обобщим вышеприведенный пример.
Рассмотрим набор величин {α, α(1 - α), α(1 - α)2, ...}. Чтобы этот набор величин являлся набором весов, необходимо соблюдение условия того, что сумма этих величин равна единице. Считая, что |1 — α| < 1, и используя формулу для суммы геометрической прогрессии, убеждаемся, что α + α(1 - α) + α(1 - α)2 + ... = 1.
Используя приведенный набор весовых величин, получаем следующую цепочку:
В итоге получаем искомую формулу прогноза с помощью экспоненциального взвешенного среднего:
Экспоненциальное взвешенное среднее имеет ряд преимуществ перед традиционным скользящим средним.
1. Для построения прогноза по экспоненциальному взвешенному среднему необходимо задать лишь начальную оценку прогноза. Дальнейшее прогнозирование возможно незамедлительно при поступлении свежих данных.
2. В экспоненциально взвешенном среднем значения весов убывают со временем.
3. Для вычисления экспоненциального взвешенного среднего требуются всего два значения: прошлое значение среднего и текущее значение.
Вятский государственный гуманитарный университет... М А Кунилова О О Антоненко...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Моделирование временных рядов
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Общая теория статистики
Учебное пособие
Киров
УДК 311(075.8)
ББК 60.60я73
К91
Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государств
Статистика как наука. Предмет статистики
Термин «статистика» происходит от латинского слова «статус» (положение, состояние вещей, явлений). В настоящее время термин употребляется в различных значениях.
1) Статистика
Методология статистики. Ее основные категории
Под методом любой науки понимают способ подхода к изучению действительности. Общим методом для всех наук является диалектический – изучение причинно-следственных связей между явлениями. Пользуясь и
Тест к теме 1
1. Предметом статистики является:
а) множество единиц, обладающих массовостью, однородностью, определенной целостностью, взаимозависимостью состояний отдельных единиц;
Понятие о статистической сводке
После того как первичный статистический материал собран и проконтролирован, переходят ко второму этапу статистического исследования – сводке материалов наблюдения.
Сводка
Статистические ряды распределения
Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
Любой ряд распределения состои
Тест к теме 2
1. Статистическая сводка – это:
а) обобщающая характеристика единиц совокупности;
б) комплекс последовательных операций по обобщению конкретных единичных фактов;
Типологическая группировка служит
а) для перегруппировки первичных данных;
б) выделения классов процессов;
в) интерполяции динамических процессов;
г) изучения взаимосвязи между явлениями.
Задачи для решения
1. Используя метод группировок, провести анализ 30 предприятий одного из регионов России, выделив 3 группы предприятий с равными интервалами.
Таблица 2.10
№ п/п
Понятие статистической таблицы. Элементы статистической таблицы
Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения, как правило, излагаются в виде статистических таблиц. Однако не всякая таблица является статистической (например, таблица умно
Макет статистической таблицы
Таблица 3.1
Название таблицы
(общий заголовок)
Содержание строк
Наименование граф (верхние заголовки)
А
Виды статистических таблиц
1. В зависимости от структуры подлежащего и группировки в нем единиц объекта различают:
а) простые статистические таблицы:
– монографические;
– перечневые.
б) Сл
Основные правила построения статистических таблиц
1. Таблица должна быть компактной. Заголовок таблицы и названия граф и строк должны быть четкими, краткими, лаконичными. Сокращения не допускаются.
2. Информация, располагаемая в столбцах
Тест к теме 3
1. Статистическая таблица представляет собой:
а) форму наиболее рационального изображения результатов статистического наблюдения;
б) сведения о чем-нибудь, распол
Понятие, формы выражения и виды статистических показателей
Статистическое исследование независимо от масштабов и целей всегда завершается расчетом и анализом различных по виду и форме выражения статистических показателей.
Статистический по
Абсолютные и относительные показатели
Исходной формой выражения статистических показателей являются абсолютные величины.
Статистические показатели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные раз
Задачи для решения
1. В 2004 г. объем грузооборота по Кировской области составил 34993 млн ткм. Планом 2005 г. было предусмотрено довести объем грузооборота до 40350 млн ткм.; фактический объем грузооборота в 2005 г.
Сущность и значение средних показателей, виды средней величины
Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к
Средняя арифметическая
Есть частное от деления суммы всех значений признака на их число. Применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельн
Средняя гармоническая
Применяется, когда имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и общем объеме совокупности (W), но неизвестны частоты (f ), или когда известен числитель исхо
Средняя геометрическая
Используется для определения среднего темпа роста. Средний темп роста () определяется
Средняя квадратическая и средняя кубическая
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных, кубических единицах измерения. Тогда применяются средняя квадратическая (н
Дисперсия альтернативного признака
Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативны
Дисперсионный анализ
Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением
Показатели формы распределения
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится встречаться с самыми разли
Тест к теме 5
1. Различают следующие классы средних величин:
а) вариационные и степенные; в) структурные и степенные;
б) вариационные и структурные; г) простые и взвешенные.
Задачи для решения
1. Определить средний удельный вес (в %) бракованной продукции за I квартал по следующим данным:
Показатель
Январь
Февраль
Март
Определение и виды рядов динамики
Ряд динамики – это ряд изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Составными
Виды РД
1. По способу выражения уровней ряда различают ряды динамики:
– абсолютных величин;
– относительных величин;
– средних величин.
2. По времени, отражаемому в дина
Условия построения ряда динамики
Статистические данные для построения РД должны быть сопоставимы:
1) по содержанию и методике построения;
2) по кругу охватываемых объектов (сравнение совок
Аналитические показатели ряда динамики
1. Абсолютный прирост. Показывает, на сколько каждый из уровней ряда отличается от уровня, принятого за базу (разность между уровнями ряда).
Введем обозначения:
Экстраполяция и интерполяция в динамических рядах
Процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося в данном динамическом ряду, называется интерполяцией.
Процесс нахождения неизвестного уровня ряда,
Изучение сезонных колебаний
При сравнении квартальных и месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Они являются результатом
Тест к теме 6
1. Числовые значения статистических показателей, представленные во временной последовательности, – это:
а) ряд динамики; б) уровень ряда; в) тренд.
2. Что
Цепной абсолютный прирост определяется
а) как сумма соседних уровней ряда;
б) разность данного уровня ряда и предыдущего к нему;
в) разность данного уровня ряда и следующего после него;
г) отношение данного ур
Задачи для решения
1. Динамика производства продукции в Кировской области в 1994–2005 гг.
Год
Вывозка древесины,
млн. м3
Абсолютный прирост,
млн м
Агрегатная форма индекса
Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знамена
Средняя форма индекса
Средняя форма индексов применяется в тех случаях, когда невозможно определить индексы по агрегатной форме из-за отсутствия какой-либо информации.
Например, нужно рассчитать общий индекс це
Тест к теме 7
1. Относительная величина, характеризующая изменение социально-экономических показателей в пространстве или по сравнению с планом, – это:
а) ряд динамики; б) индекс; в) ди
Выбор формы индекса зависит
а) от цены за единицу товара;
б) целей исследования;
в) промежутка времени.
15. По степени охвата явлений выделяют:
а) общие индексы; б) частные
Индекс цен Ласпейреса – это
а) индекс с весами отчетного периода; б) индекс с весами базисного периода.
21. Индекс структурных сдвигов характеризует:
а) изменение среднего уровня признака за
Понятие о выборочном наблюдении
Статистическое наблюдение в зависимости от полноты охвата объекта может быть сплошным и несплошным. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой со
Условия отбора единиц в выборочную совокупность
1. Каждая единица генеральной совокупности должна иметь равные возможности попасть в выборку.
2. Количество единиц в выборке должно быть достаточно большим.
Основная задач
Основные способы формирования выборочной совокупности
1) Собственно-случайный. Отбор единиц из генеральной совокупности производится в случайном порядке. Случайность отбора заключается в соблюдении 1-го принципа. На практике пр
Определение необходимого объема выборки
Очень важное значение имеет определение оптимальной численности выборки, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. При увеличении численности выборки о
Тест к теме 8
1. Выборочное наблюдение – это:
а) вид несплошного наблюдения;
б) способ несплошного наблюдения;
в) форма несплошного наблюдения.
2. О в
Задачи для решения
1. По городской телефонной сети в порядке случайной бесповторной выборки произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора – 5 мин. При среднем квадратиче
Понятие корреляционной связи
При характеристике количественной связи между явлениями и отдельными признаками различают два вида связи:
· функциональная;
· стохастическая (корреляционная).
Фун
Методы изучения связи социальных явлений
Применение корреляционного и регрессионного анализа требует, чтобы все признаки были количественно измеримы. Построение аналитических группировок предполагает, что количественным должен быть резуль
Методы многомерного статистического анализа
Встречаются такие ситуации, в которых случайная изменчивость была представлена одной-двумя случайными переменными, признаками.
Например, при исследовании статистической совокупности людей
Тест к теме 9
1. Проверка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется на основе:
а) критерия Стьюдента;
б) множественного коэффициента корреляции;
в) коэф
Задачи для решения
1. По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:
Адаптивные методы прогнозирования используются
а) при среднесрочном прогнозировании;
б) краткосрочном прогнозировании;
в) долгосрочном прогнозировании.
6. Случайная компонента возникает в результате влияния:
Новости и инфо для студентов