Индекс – относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. В статистическом анализе индексы используются для сопоставления уровней явлений и для установления значимости причин, вызывающих их изменение.
Если анализируются простые явления или не имеет значения структура сложных явлений, то применяются индивидуальные индексы. Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Например: такие простые явления, как количество проданного товара q и его цена р своим произведением образуют такое сложное явление, как выручка от продаж Q=qp. Сравнение их значений по отдельности для конкретного товара в отчетном периоде времени относительно какого-либо базисного периода и дает индивидуальные индексы:
—количества товара iq = q1 /q0 ;
—его цены ip = p1/p0 ;
—выручки от продаж iQ = Q1 /Q0 .
Индивидуальный индекс сложного явления формируется из таких простых индексов его составляющих по типологической формуле его
iQ=iqip (17)
Подставив сюда индивидуальный индекс выручки, записываем: Q1/Q0= iqip
откуда получаем, что
Q1= iqipQ0 (18)
Формула (18) представляет собой двухфакторную мультипликативную модель сложного явления, позволяющую находить его изменение под влиянием каждого фактора в отдельности.
Мультипликативной модель содержит только действие умножения. Если в формуле только сложение, или вычитание, или оба этих действия, то она называется аддитивной моделью. Если в формуле только деление, то она называется кратной моделью. Если в формуле сложение и вычитание с умножением и делением в любом сочетании, то она называется смешанной моделью.
Общее изменение выручки равняется =Q1-Q0, а ее изменение от каждого фактора определяется следующим образом.
От изменения количества товара при постоянной цене (ip = 1) оно равно
q= iqQ0 - Q0 = (iq –1) Q0, (3)
при изменении количества и цены оно будет равным
p= Q1 - Q0 - q = iqipQ0 - Q0 - (iq –1) Q0= iq(ip –1) Q0, (4)
Так, если выручка от продаж возросла с Q0 = 8 млн. руб. в предыдущем периоде до Q1 =12,18 млн. руб. в последующем при увеличении количества проданного товара на 5% (iq =1,05) и повышении цены на 45% (ip =1,45), то можно по формуле (18) записать, что
Q1 = 1,05*1,45*8 = 12,18 млн. руб.
Прирост выручки в сумме = 12,18-8=4,18 млн. руб. вызван увеличением обоих факторов. За счет изменения количества проданного товара прирост выручки (по формуле (3) составит q =(1,05-1)8=0,4 млн. руб., за счет изменения цены по формуле (4) составит
p =1,05 (1,45-1)8 =3,78 млн. руб.
Контроль: сумма факторных изменений выручки равна общему: 0,4+3,78=4,18 млн. руб.
Формулы (3) и (4) получены исходя из того, что в основной формуле выручки количество товара - первый фактор, а цена - второй. Если эти факторы поменять местами, то выручка и ее общее изменение останутся прежними, но изменения от каждого фактора будут другими.
Если основываться на формуле выручки вида Q = pq, то ее изменение за счет цены, как первого фактора, по аналогии с формулой (3) будет равняться
p = (ip –1) Q0 , (5)
Изменение выручки за счет количества товара, как второго фактора, по аналогии с формулой (4) определится по выражению
q= ip(iq –1) Q0. (6)
Суммарное по факторам изменение выручки по-прежнему равняется ее общему изменению.
В примере, считая цену первым фактором и применяя формулу (5), определяем, что изменение выручки за счет повышения цены равняется p = (1,45-1)8 = 3,6 млн. руб.
Изменение выручки за счет увеличения количества проданного товара, как второго фактора, по формуле (6) равно q = 1,45(1,05-1)8 = 0,58 млн. руб.
Общее изменение выручки осталось прежним: 3,6+0,58=4,18 млн. руб.
В связи с различными факторными изменениями выручки, в зависимости от места фактора в ее основной формуле, встает вопрос, какую же формулу выручки применять для анализа. Это зависит от конкретной экономической ситуации. Если увеличение выручки обеспечивается главным образом за счет роста количества проданного товара при более или менее стабильной цене, то товар считается первым фактором, а цена — вторым. Если же увеличение выручки достигается в основном повышением цен без увеличения и даже при снижении количества проданного товара, то цена считается первым фактором, а товар — вторым.
Очередность анализа по факторам вытекает из вида формулы сложного явления. Так, если материальные затраты М на выпуск продукции определяются как произведение ее количества q, удельного расхода материала т и его цены р, то формула имеет вид
М = qmp, (7)
а трехфакторная мультипликативная модель запишется как
M1=iqimipM0.(8)
Следовательно, можно записать следующие формулы факторных изменений материальных затрат
Меняя факторы местами в основной формуле (8), можно получать другие факторные формулы, но всегда общее изменение материальных затрат, равное сумме факторных изменений, будет одинаковым.
Подобные мультипликативные модели можно формировать для неограниченного числа факторов.