Системы линейных уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n переменных, называется система вида:

где числа а_ij, i = 1, 2,…, m, j = 1, 2, …, n, называются коэффициентами при переменных, числа b_i – свободными членами уравнений.

Систему можно записать в компактной матричной форме

А · Х = В,

где А – матрица коэффициентов при переменных; Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов:

А = , Х = , В = .

Решением системы называется такая совокупность n чисел (х₁ = k₁, x₂ = k₂, …, x_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками.

К элементарным преобразованиям относятся следующие:

1) Умножение строки на число, отличное от нуля.

2) Прибавление к одной строке другой, умноженной на любое число.

3) Перемена местами двух строк.

Для нахождения решения системы линейных уравнений применяют метод Крамера, метод обратной матрицы и метод Гаусса.