Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет следующим условиям:
1) вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;
2) вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах:
, где α – угол между векторами и ;
3) векторы , , образуют правую тройку.
Рис. 17
Три произвольных некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 18), и левую, если по часовой стрелке.
Рис. 18
Если система координатных осей правая и векторы и заданы своими координатами, , , то векторное произведение определяется по формуле:
.
Площадь параллелограмма S, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения × и определяется по формуле:
S = ||.
Площадь треугольника SD, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма:
SΔ = S = ||.