рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Математика
  •  / 
  • Смешанное произведение векторов

Реферат Курсовая Конспект

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов - раздел Математика, Линейная и векторная алгебра Смешанным ПроизведениемТрех Векторов ...

Смешанным произведениемтрех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на : .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).

 
 

 

 


Рис. 19

 

Если векторы , , заданы своими координатами, , , , то смешанное произведение трех векторов , , равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:

.

Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.

Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

V = .

Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

Vт = = .

 

Пример 6. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:

1) площадь грани АВС;

2) объем тетраэдра АВСD;

3) длину высоты, опущенной на грань АВС;

4) внутренний угол А треугольника АВС.

 

Решение.

1. Если даны точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2), то вектор выражается следующим образом через орты , , :

= (x2 – x1)+ (у2 – у1)+ (z2 – z1).

Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:

= (4 – 2)+ (1 – 3)+ (–2 – 1)= 2– 2– 3;

= (6 – 2)+ (3 – 3)+ (7 – 1)= 4+ 6;

= (–5 – 2)+ (–4 – 3)+ (8 – 1)= –7– 7+ 7.

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторов и .

Найдем векторное произведение векторов и :

= (–2∙6 – 0∙(–3))– (2∙6 – 4∙(–3))+ (2∙0 – 4∙(–2))=

= –12– 24+ 8.

Найдем модуль векторного произведения

= .

Тогда SАВС = = ∙ 28 = 14.

2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , . Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов , , :

= = 308.

Тогда объем тетраэдра VАВСD = ∙= ∙ 308 = .

3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания SD на высоту H:

.

Выразим высоту Н из последнего уравнения: .

Подставляя в эту формулу и SD = SАВС = 14, получим:

.

4. Косинус угла j, образованного векторами и , равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:

cosj =

Найдем модули (длины) векторов и :

|| = ;

|| = .

Тогда cos А = cosj = .

А » 109,65°.

3.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какие величины называются скалярными, какие векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как найти координаты векторов по координатам точек его начала и конца?

5. Каковы линейные операции над векторами?

6. Как найти проекцию вектора на ось?

7. Назовите правила сложения и вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

8. Что называется базисом (ортами) векторного пространства?

9. Напишите формулу разложения вектора по ортам.

10. Напишите формулу для определения длины (модуля) вектора.

11. Что называется направляющими косинусами вектора?

12. Напишите формулы для нахождения направляющих косинусов вектора.

13. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

14. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

15. Как найти скалярное произведение двух векторов, заданных координатами?

16. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами, заданными координатами.

17. Напишите формулу для определения проекции вектора на ось данного вектора.

18. Напишите условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

19. Дайте определение векторного произведения двух векторов.

20. Перечислите основные свойства векторного произведения двух векторов.

21. Как найти векторное произведение двух векторов, заданных координатами?

22. Напишите формулы для нахождения площади параллелограмма и треугольника.

23. Дайте определение смешанного произведения трех векторов.

24. Перечислите основные свойства смешанного произведения.

25. Как найти смешанное произведение трех векторов, заданных координатами?

26. Напишите формулы для нахождения объема параллелепипеда и тетраэдра.

27. Напишите условие компланарности трех векторов.

 


Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная и векторная алгебра

ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Смешанное произведение векторов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Системы линейных уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n переменных, называется система вида:

Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы равно числу переменных: т = п.Тогда матрица системы является квадратной. Ее определитель D(А) называется определителем системы.

Метод Крамера
Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Пусть D – определитель матрицы систем

Метод Гаусса
Универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Он заключается в том, что с помощью элементарных прео

Линии первого порядка
В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую. Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого по

Окружность
Окружностьюназывается геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром. Каноническое уравнение окружности с центром в то

Гипербола
Гиперболойназывается геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой. Рассмотрим канон

Основные определения и понятия
Вектором называется направленный отрезок. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Векторы, лежащие на одной прямой или на пар

Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и

Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов и

Плоскость в пространстве
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется

Прямая в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух непараллельных плоскостей общими уравнениями:

Прямая и плоскость в пространстве
Угол между плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0 и прямой, заданной каноническими уравнениями

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги