Метод Крамера

Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений.

Теорема Крамера. Пусть D – определитель матрицы системы А; D_j – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j- го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если D ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, j = 1, 2, …, n

Эти формулы называются формулами Крамера.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение.

Найдем общий определитель системы:

∆ = = 3∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙2 + 1∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙2 –

– 2∙(–3) ∙3 – 1∙1∙(–5) = 30 – 4 – 6 – 8 + 18 + 5 = 35.

Вычислим определители переменных ∆₁, ∆₂, ∆₃, которые получаются из общего определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов (правых частей каждого уравнения):

∆₁ = = 5∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙(–3) + 4∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙(–3) –

– 2∙(–3) ∙5 – 1∙4∙(–5) = 50 + 9 – 16 + 12 + 30 + 20 = 105.

∆₂ = = 3∙4∙(–5) + 1∙(–3)∙(–2) + 5∙(–3)∙2 – (–2)∙4∙2 – (–3)∙(–3)∙3 –

– 1∙5∙(–5) = – 60 + 6 – 30 + 16 – 27 + 25 = – 70.

∆₃ = = 3∙(–2) ∙(–3) + 1∙2∙5 + 1∙4∙2– 5∙(–2)∙2 – 2∙4∙3 – 1∙1∙(–3) =
= 18 + 10 + 8 + 20 – 24 + 3 = 35.

Решение системы линейных уравнений найдем по формулам Крамера:

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = .