Векторное произведение

Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Эта характеристика называется ориентацией тройки векторов.

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.

Векторным произведением векторов и называется вектор = ´такой, что:

(a) , где a – угол между векторами;

(b) , ;

Свойства векторного произведения:

1. ´ = –´(антикоммутативность).

2. = .

3. =.

4. Критерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и , равна модулю их векторного произведения: .

7. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 1.6.4.Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и
= (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

= (2 – 6) –(–4 – 9) +(4 + 3) = –4+ 13+ 7= (–4, 13, 7).

Пример 1.6.5.Найти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A(3, 2, 0), C(2, –1, 2) D(1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма. Так как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);