рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Свойства смешанного произведения.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Свойства смешанного произведения.

Свойства смешанного произведения. - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия 1. Операции Векторного И Скалярного Произведения Можно Переставить Местами, Т...

1. Операции векторного и скалярного произведения можно переставить местами, то есть (´)= (´), поэтому смешанное произведение обозначают просто .

2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: = = .

3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = –= –= –.

4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами , и , равен .

5. Критерий ориентации тройки векторов , , : тройка правая, если
> 0, и тройка левая, если < 0.

6. Критерий компланарности: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда = 0.

7. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), = (c₁, c₂, c₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 1.6.6.Найти объем параллелограмма ABCDA₁B₁C₁D₁, если заданы координаты вершин A(3, 2, 0), C(2, –1, 2) D(1, 3, –4), C₁(4, 5, 7).

Решение. Изобразим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы понять, какие векторы задают ребра параллелепипеда. Так как заданы точки A, C, D, C₁, то естественно использовать векторы , и :

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (4 – 2, 5 + 1, 7 – 2) = (2, 6, 5).

Тогда

= = 2(–20 – 36) – 1(5 – 12) + 4(6 + 8) = –49;

V = 49.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства смешанного произведения.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n переменными Решением

Определители
Матрица порядка m´n – это матрица с m строками и n столбцами. При m=n имеем квадратную матрицу порядка n. Определитель квадратной мат

У п р а ж н е н и я
1.2.1.Решить системы по правилу Крамера: а) б)

У п р а ж н е н и я
1.3.1. Выяснить, для каких матриц определены произведения, и найти эти произведения: А =

Линейная зависимость. Базис системы векторов
В геометрии вектор понимается как направленный отрезок, причем векторы, полученные один из другого параллельным переносом, считаются равными. Все равные векторы рассматриваются как один и тот же ве

Прямые на плоскости
Задача аналитической геометрии – применение к геометрическим задачам координатного метода. Тем самым задача переводится в алгебраическую форму и решается средствами алгебры. В прямоугольно

Уравнение прямой на плоскости
Прямую на плоскости можно задавать уравнениями разных видов. Для решения задач следует использовать уравнение, наиболее удобное для данной задачи. Уравнение с угловым коэффициентом

Угол между двумя прямыми.
Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k1 и k2. Тогда угол j между ними определяется из условия

У п р а ж н е н и я
1.5.1. Построить уравнение прямой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; –3). 1.5.2. Даны три точки А(–2; 1), В(1; –3), С

Векторная геометрия
В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих коо

Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов и

Векторное произведение
Упорядоченная тройка векторов ,

Смешанное произведение
Смешанным произведением векторов ,

Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. (1) Коэффициенты этого уравнения определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в пространстве
Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей. В этом случае она задается системой уравнений, определяющих эти плоскости:

У п р а ж н е н и я
1.7.1.В пространстве даны точки А(1; 3; 0), B(–1; 2; 1), C(–2; 1; 3), D (2; 2; 1). а) Постройте уравнение плоскости АВС; б) Пос

Преобразование координат
Часто для определения вида и параметров фигуры, задаваемой уравнением в некоторой системе координат, быва

Кривые второго порядка
Уравнение второго порядка – это уравнение вида Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Такое уравнение преобразованиями координат приводится

Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, называемой директрисой (предполагается, ч

Определение вида кривой второго порядка
По данному уравнению кривой второго порядка общего вида непонятно, какую кривую оно определяет. Чтобы выяснить это, уравнение требуется привести к каноническому виду с помощью преобразования коорди

У п р а ж н е н и я
1.9.1. Определите вид и параметры кривых второго порядка, заданных уравнениями: а) ; б)