Уравнение прямой в пространстве

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей. В этом случае она задается системой уравнений, определяющих эти плоскости:

(6)

Каноническое уравнение прямой:

. (7)

Здесь М(x₀, y₀, z₀) – точка, через которую проходит прямая, (l, m, n) – направляющий вектор прямой.

Это уравнение на самом деле представляет собой систему двух уравнений, как и в формуле (6). Один или два знаменателя могут быть равны 0, это будет означать, что соответствующие числители приравниваются к 0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂):

. (8)

Пример 1.7.1.В пространстве заданы точки A(3, 2, –1), В(2, –1, 2) С(1, 3, 4), D (4, –5, 5). а) постройте уравнение плоскости (АВС); б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (АВС); в) постройте уравнение прямой АС; г) постройте уравнение перпендикуляра к плоскости (АВС), проходящего через точку D.

Решение. а) Воспользуемся формулой (4):

= 0;

= 0;

(x – 3)( –15 – 3) – (y – 2)( –5 + 6) + (z + 1)( –1 – 6) = 0;

–18(x – 3) – (y – 2) – 7(z + 1) = 0;

–18x + 54 – y + 2 – 7z – 7 = 0;

–18x – y – 7z + 49 = 0;

18x + y + 7z – 49 = 0.

б) Воспользуемся формулой (5):

 

.

в) Воспользуемся формулой (8):

;

.

г) Направляющим вектором перпендикуляра является нормаль к плоскости; из пункта а) это = (18, 1, 7). Воспользуемся формулой (7):

.