Реферат Курсовая Конспект
Определители - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Матрица Порядка M´N – Это Матрица С M Строками И ...
|
Матрица порядка m´n – это матрица с m строками и n столбцами. При m=n имеем квадратную матрицу порядка n.
Определитель квадратной матрицы порядка n – это число, которое ставится в соответствие этой матрице. Определитель матрицы заключен в прямые скобки.
Определители второго и третьего порядка вычисляются по формулам
= ad – bc;
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32. (1)
В последней формуле (1) имеем сумму произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Часть этих произведений входит в сумму со знаком «+», остальные – со знаком «–». Чтобы правильно расставить эти знаки, можно применить правило треугольника. Произведение элементов главной диагонали матрицы (выходящей из левого верхнего угла) берется со знаком «+», и с этим же знаком берутся произведения по двум треугольникам, имеющим с этой диагональю параллельную сторону, как на левом рисунке. Произведения по второй, побочной диагонали берутся со знаком «–», как и произведения по двум треугольникам, имеющим с ней параллельную сторону (см. правый рисунок).
Пример 1.2.1.Вычислим определитель по формуле (1):
=
= 60 + 3 – 24 – 24 – 6 + 30 = 39.
Пример, иллюстрирующий применение определителя, это правило Крамера для решения систем n линейных уравнений с n переменными. Сначала вычисляем определитель D основной матрицы системы. Если D ¹ 0, то система имеет единственное решение. Для нахождения каждого xi вычисляем определитель Di матрицы, полученной из основной матрицы заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Тогда xi находим по формуле xi =для всех i. Этот метод особенно эффективен для решения систем из двух уравнений с двумя переменными; для решения систем с большим числом уравнений и переменных удобнее метод Гаусса.
Пример 1.2.2.Решить систему
Решение. Производим вычисления:
;
; ;
; .
Определитель 3-го порядка можно посчитать и по другой формуле, называемой разложением по первой строке:
= (2)
Структура формулы (2) будет ясна из следующих определений.
Минором элемента aij матрицы А (то есть элемента, стоящего и i-ой строке и j-ом столбце) называется определитель Mij(A) матрицы, полученной из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы А называется число
Aij = (–1)i+j Mij(A).
Таким образом, формула (2) означает, что определитель получается умножением элементов первой строки на их алгебраические дополнения и суммированием полученных произведений. При применении формулы (2) не стоит выписывать определители второго порядка в правой части, их можно сразу раскрыть, мысленно выделив их в исходной матрице.
Пример 1.2.3.Вычислим определитель из примера 1.2.1 по формуле (2):
=
= = 39.
Для вычисления определителей более высокого порядка их порядок следует понизить. Для этого пользуются свойствами определителей:
1) если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольный скаляр, то ее определитель не изменится;
2) если строку (столбец) матрицы умножить на число l, то на l умножится ее определитель;
3) если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то ее определитель поменяет знак;
4) определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен 0;
5) определитель матрицы А, у которой все элементы какой-либо строки (столбца), кроме, может быть, aij, равны 0, равен (–1)i+jaijMij, где Mij – определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Для понижения порядка определителя выбираем в нем какой-нибудь элемент, обычно равный 1. Остальные элементы столбца, в котором он стоит, надо заменить нулями. Для этого используем строку, в которой стоит выбранный элемент, как опорную. Преобразуем элементы столбца в нули с помощью правила 1), как в методе Гаусса. При этом, возможно, преобразовывать придется строки не только ниже, но и выше выбранной строки. После этого понижаем порядок определителя по правилу 5). Можно, впрочем, поменять строки и столбцы ролями, делая нули не в столбце, а в строке с помощью опорного столбца.
Пример 1.2.4. Вычислить определитель
.
Решение. Мы имеем элемент 1 на пересечении второй строки и второго столбца. Используя вторую строку, сделаем остальные элементы во втором столбце равными 0. Для этого к первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую, умноженную на –2, –5, –3 соответственно. Получаем:
= =(–1)2+2= =
= 42 + 12 + 0 – 18 – 16 – 0 = 20.
Перед вычислением определителя третьего порядка его упростили, прибавив ко второй строке третью, умноженную на –2.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определители
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов