Определение вида кривой второго порядка
По данному уравнению кривой второго порядка общего вида непонятно, какую кривую оно определяет. Чтобы выяснить это, уравнение требуется привести к каноническому виду с помощью преобразования координат. Если при этом используются только параллельные переносы и повороты, то определяется не только вид, но и все параметры кривой. Если же используется косоугольная система координат, то параметры искажаются, и мы сможем определить только вид кривой. Особым является случай, когда в уравнении кривой отсутствует произведение Вху. В этом случае преобразование координат основано на выделении полных квадратов, преобразование сводится к параллельному переносу, и параметры кривой сохраняются.
Пример 1.9.1.Определите вид и параметры кривой второго порядка, задаваемой уравнением 2x2 – 3y2 + 4x – 12y – 16 = 0.
Решение. а) Сначала выделим полные квадраты:
2(x2 + 2x) – 3(y2 – 4y) – 16 = 0;
2(x2 + 2x + 1) – 2 – 3(y2 – 4y + 4) + 12 – 16 = 0;
2(x + 1)2 – 3(y – 2)2 = 6.
Сделаем замену переменных: x + 1 = x1, y – 2 = y1:
2x12 – 3y12 = 6;
;
.
Получилось уравнение гиперболы с параметрами 
, 
, 
, 
.
Пример 1.9.1.Определите вид кривой второго порядка, задаваемой уравнением x2 – 2xy + 3y2 + 4x – 8y – 2 = 0.
Решение. а) Сначала произведем преобразование, позволяющее убрать член 2xy:
(x2 – 2xy + y2) + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0;
(x – y)2 + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0.
Делаем замену x – y = x1, y = y1, откуда x = x1 + y1:
x12 + 2y12 + 4(x1 + y1) – 8y1 – 2 = 0;
x12 + 2y12 + 4x1 – 4y1 – 2 = 0;
(x12 + 4x1+ 4) – 4 + 2(y12– 2y1 +1) – 2 – 2 = 0;
(x1 + 2)2 + 2(y1 – 1)2 = 8;
.
Получилось уравнение эллипса. Его параметры по полученному уравнению определить невозможно, так как в процессе преобразований они исказились.