Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k₁ и k₂. Тогда угол j между ними определяется из условия

. (9)

Условие перпендикулярности двух прямыхс угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

k₁ k₂ = –1. (10)

Условие параллельности двух прямыхс угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

k₁ = k₂ . (11)

Расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:

.(12)

Площадь треугольника АВС с вершинами А(x₁, y₁), В(x₂, y₂), С(x₃, y₃):

. (13)

Пример 1.4.2.Даны три точки А(3; 1), В(–2; 3), С(1; –2). а) Построить уравнение прямой АВ; б) Найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С;
г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и С; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Решение. а) Воспользуемся формулой (6):

;

;

2x – 6 = –5y + 5;

2x + 5y – 11 = 0 – общее уравнение прямой.

б) Приведем уравнение прямой АВ, полученное в пункте а) к виду (3):

.

Отсюда ее угловой коэффициент . Аналогично находим угловой коэффициент прямой АС, построив ее уравнение:

;

–3x + 9 = –2y + 2;

3x – 2y – 7 = 0;

;

.

Теперь по формуле (9) получаем

.

в) Угловой коэффициент k₃ перпендикуляра к АВ находим из условия (10): k₁ k₃ = –1, где из пункта б). Отсюда . Уравнение перпендикуляра находим по формуле (7):

y – (–2) = ;

2y + 4 = 5x – 5;

5x – 2y – 9 = 0.

г) Согласно формуле (11), угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, также равен . Поэтому по формуле (7) получаем уравнение

y – (–2) = ;

5y + 10 = –2x + 2;

2x + 5y + 8 = 0.

д) Воспользуемся формулой (1):

.

е) Воспользуемся формулой (12) и уравнением прямой АВ из пункта а):