Реферат Курсовая Конспект
III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА - раздел Математика, ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР 1. Вычислить Определитель Четвертого Порядка С Помощь...
|
1. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей:
.
Решение
Для удобства преобразований поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, после чего поставим перед определителем знак минус (т. к. при перестановке строк местами определитель меняет знак):
.
Преобразуем данный определитель так, чтобы в первом столбце все элементы, кроме одного, обратились в ноль; 1-ю строку умножим на (-2) и сложим со 2-й и 3-й строками, затем 1-ю строку умножим на (-3) и сложим с 4-й:
.
Раскладывая определитель по элементам первого столбца, получим:
.
Из 3-й строки вынесем общий множитель за знак определителя и поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:
.
1-ю строку умножим на 2, сложим со 2-й; затем 1-ю строку умножим на 4, сложим с 3-й:
.
Разложим определитель по первому столбцу:
.
Из обеих строк определителя вынесем общие множители и вычислим его:
.
Итак, .
2. Найти обратную матрицу и сделать проверку:
.
Решение
Вычислим определитель данной матрицы (разложим по первой строке):
,
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
, | , | , |
, | , | , |
, | , | . |
Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
Проверка
.
3. Решить матричное уравнение:
.
Решение
Матричное уравнение задано в виде . Следовательно,
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A.
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
, | , | , |
, | , | , |
, | , | . |
Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Искомая матрица имеет вид:
.
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Вычислим определители , в которых вместо первого, второго и третьего столбцов соответственно стоит столбец из свободных членов:
, | , | . |
Найдем значения неизвестных :
, | , | . |
Итак, , , .
5. Решить систему линейных уравнений матричным методом:
Решение
Перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения:
, где , , .
Имеем:
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A:
,
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
, | , | , |
, | , | , |
, | , | . |
Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Итак, , , .
6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Следовательно, система совместна и имеет единственное решение.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
~ + +
~~ + ~.
Из полученной матрицы составим систему линейных уравнений и найдем неизвестные с помощью обратного хода Гаусса:
Отсюда:
Ответ: , , .
7. Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений:
Решение
Составим таблицу коэффициентов системы и преобразуем ее так, чтобы на ее главной диагонали стояли только единицы, а все остальные элементы были равны нулю.
–2 | ||||
–2 | –2 | –5 | ||
–4 | –5 | |||
–1 | –1 | –3 | ||
1/3 | –2/3 | 1/3 | 22/3 | |
11/3 | –10/3 | 20/3 | 29/3 | |
11/3 | 5/3 | –13/3 | –37/3 | |
–2/3 | –11/3 | 16/3 | 34/3 | |
–4/11 | –3/11 | 71/11 | ||
–10/11 | 20/11 | 29/11 | ||
–11 | –22 | |||
–47/11 | 72/11 | 144/11 | ||
–59/55 | 267/55 | |||
–2/11 | –15/11 | |||
–11/5 | –22/5 | |||
–157/55 | –314/55 | |||
Из таблицы имеем:
8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений:
Решение
Запишем матрицу системы и преобразуем ее к ступенчатому виду:
~~~.
Ранг матрицы равен , значит фундаментальная система решений состоит из решений. Перепишем преобразованную систему:
где – базисные неизвестные, – свободные неизвестные.
Введем обозначения и запишем общее решение системы:
где и– произвольные постоянные.
Придадим произвольным постоянным ипоследовательно значения и соответственно, получим:
и – фундаментальная система решений.
9. Найти матрицу линейного оператора A в базисе, если в стандартном базисематрица линейного оператора А имеет вид:
.
Решение
Матрицы и линейного оператора A связаны соотношением , где C – матрица перехода от базиса к базису , она имеет вид:
, .
Подставим матрицы , , в соотношение
.
Итак, .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Матрицы Начальные сведения Рассматриваем новый математический объект... Операции над матрицами...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов