СЛАУ (11) можно привести к виду:
. | (15) |
Тогда возможны три случая:
1. Если главный определитель , то система (11) имеет единственное решение:
, где .
2. Если , а хотя бы один , то система не совместна (решений не имеет), поскольку имеется противоречивое уравнение .
3. Если и все , то система имеет бесконечное число решений.
1.7. Метод Гаусса
Для систем произвольного вида
, где | (16) |
(прямоугольных), где число уравнений не совпадает с числом неизвестных, применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных, основанный на элементарных преобразованиях типа:
1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;
2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, отличное от нуля;
3) перестановка местами двух уравнений системы.
Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим, что, выполняя преобразования 1–3 над уравнениями системы, соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:
.
Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:
а) | или | б) |
В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение, а в случае б) система примет трапециевидную форму и будет иметь множество решений.
Заметим, что если на некотором шаге появится строка , , то система будет несовместной, т.е. не будет иметь решений.
Нахождение неизвестных из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.