рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА - раздел Математика,   З.и.андреева   Лине...

 

З.И.Андреева

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОУ «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

 

З.И.Андреева

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

  Пермь 2011  

ВВЕДЕНИЕ

 

Настоящее пособие представляет собой изложение курса лекций по линейной алгебре, которые читаются студентам всех направлений физического факультете Пермского государственного университета.

При написании пособия учтены многие достоинства наиболее распространенных учебников, содержащих материалы по линейной алгебре: А.Г.Куроша «Курс высшей алгебры», А.И.Кострикина «Основы алгебры», В.А.Ильина и Э.Г.Позняка «Линейная алгебра», Г.С.Шевцова «Линейная алгебра: теория и прикладные задачи». Приводятся в основном наиболее краткие доказательства. Ссылки на эти учебники в тексте данного пособия мы не делаем.

Изложен только программный материал курса. Приведены все необходимые определения, понятия, утверждения и теоремы. Некоторые утверждения (например, теоремы Крамера, Лапласа, о равенстве числа векторов во всех базисах данного конечномерного линейного пространства и др.) приводятся в пособии без доказательства. Для самостоятельного доказательства предлагаются достаточно простые утверждения или утверждения, аналогичные уже доказанным.

В пособии приведены образцы решения задач, использующие изложенную теорию.

 

 

 

 

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

(1) Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих… (2)

Определители второго и третьего порядков

Пусть дана система (1) Если обе части первого уравнения умножить на , а второго – на и уравнения… Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы , называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной…

Комплексные числа

Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической… z + z1 = (а + а1) + (в + в1)×i, z×z1 = (аа1 - вв1) + (ав1 +… Эти операции обладают следующими свойствами.

Перестановки и подстановки

= = (7) Но в этом случае уже не так просто, как для определителя третьего порядка, проверить, что разложения по остальным…

Определители n-го порядка

Определение 7. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть… Обозначение определителя: |А| = . Например, при n = 6 произведение а21а13а62а34а46а55 является членом определителя, так как в него входит точно по…

III. МАТРИЦЫ

 

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число

Определение 8. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных… Если арк и врк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А… Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:

Простые и двойные суммы

Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется простой суммой и обозначается . Следовательно, = а1 + а2 + … +аn. Свойства простых сумм: 10. , 20. .

Умножение матриц

Размерность матрицы С равна m´ к. Пример 1. = .

Решение матричных уравнений

Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А - либо вырожденная, либо прямоугольная. 1) Если А – квадратная и |А| ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют… 2) А – квадратная матрица, но |А| = 0, либо А - прямоугольная матрица. Если матрица А имеет размерность m´n, а…

IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Алгебраические операции

Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой упорядоченной паре элементов а и в из М ставится в соответствие вполне определённый элемент с. Если при этом для любой пары элементов а, в из М соответствующий элемент с всегда тоже принадлежит М, то М замкнуто относительно данной операции.

Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М задана внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов а Î М, в Î К ставится в соответствие вполне определённый элемент с Î М.

Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число – пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова пространства.

Пусть на множестве элементов Р определены две внутренние алгебраические операции: сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Î Р(с = а + в); при умножении тоже каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Î Р(с = а×в).

Определение 12. Множество элементов Р называется полем, если на нём заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям (аксиомам):

1. Р замкнуто относительно обеих операций;

2. а + в = в + а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон для сложения);

3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);

4. $ 0 Î Р такой, что а + 0 = а для любого а Î Р;

5. для любого а Î Рсуществует (-а) Î Р такой, что а + (-а) = 0;

6. а×в = в×а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон);

7. (а×в)×с = а×(в×с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);

8. $ е Î Р такой, что е×а = а для любого а Î Р(е называется единицей и обозначается 1);

9. для любого а Î Рсуществует а-1Î Р такой, что а×а-1 = е (а-1обратный элемент для а);

10. (а + в)×с = а×с + в×с для любых элементов а, в и с из Р.

Примерами полей являются множество рациональных чисел ( R ), множество действительных чисел (Q ), множество комплексных чисел (С ).

 

Определение и примеры линейных пространств

Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда – комплексных) чисел. Векторы будем обозначать а, в, …; элементы из Р - a, b, l, …

Определение 13. Множество элементов L называется линейным (векторным) пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:

1. L замкнуто относительно обеих операций;

2. а + в =в + а для любых аи виз L.;

3. (а +в) + с = а + (в + с) для любых элементов а,в и с из L;

4. $ 0Î L такой, что а + 0= а для любого а Î L;

5. для любого а Î Lсуществует (-а) Î L такой, что а + (-а) = 0;

6. а= а для любого а Î L;

7. (a×b)×а = a×(b×а) для любого а Î Lи любых a, b Î Р ;

8. (a + b)×а = a×а + b×а для любого а Î Lи любых a, b Î Р ;

9. a×(а + в) = a×а + a×в для любых аи виз L и любого a Î Р (дистрибутивный закон).

Примеры: I. L = í0ý, Р – любое поле.

II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.

III. Множество всех компланарных геометрических векторов.

IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

V. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами.

VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.

VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке [ав] функций.

Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 14. Система векторов (*) называется линейно зависимой, тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1,… Свойства линейной зависимости и независимости. 10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Базис векторного пространства. Координаты вектора

Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая системе его векторов. Базису можно дать другое определение, эквивалентное приведённому. Определение 19. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система а1, а2, … , аn , … (*) его…

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как векторы е11, е21,… , еn1 линейно независимы, то матрица Т невырожденная. Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (a1, a2, … , an)Т, а в базисе е1… Пример. Пусть е = (е1, е2, е3 , е4 ) – базис в пространстве L4. Пусть е11 = 2е1 – 3е3 , е21 = е2 + е4 , е31 = 4е1 + е2…

Подпространства линейных пространств

Теорема 14. Непустое множество элементов В Ì L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в1… Доказательство. Þ Если В – линейное подпространство, то условия… Ü Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в Î В. Тогда (–1)×в = –в принадлежит В.…

Изоморфизм линейных пространств

Отображение j называется изоморфизмом. Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением. Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует…

V. РАНГ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранг матрицы

Определение 26. Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов. По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как… Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Пусть А = (26) матрица этой системы и А1 = (27) расширенная матрица. Если система (25) имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной, в… Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна… Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы a1, a2, … , an , что …

Пространство решений системы линейных однородных уравнений

Пусть a =(a1, a2, … , an) и b =(b1, b2, … , bn) – любые два из них. Их можно рассматривать, как векторы в арифметическом n-мерном пространстве над… Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с n… Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число…

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений

Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями,… Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А×х = в (31) и… 20. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано n-мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n-мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (n–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30.Если в линейномn-мерном пространстве Ln зафиксирован базис, то любое его к-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к).

Доказательство.Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ). Пусть Lк – линейное к-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк любой базис а = (а1, а2,… , ак). Пусть В матричной форме а = е × А, где А = .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.

Если d – любой вектор, то d Î Lк Û d = с1а1 + с2а2 + … +скак ,где с1, с2, … , ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с столбец параметров. Отсюда d = е×(А×с). Если х – столбец координат вектора d в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е×(А×с) и х = А×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк . После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис е = (е1, е2, е3, е4 , е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = <а1, а2, а3>, если а1 = (1, –2, 2, 0, 1), а2 = (0, 4, 7, 0, 1), а3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d Î L3 Û d = с1а1+ с2а2+ с3а3. Отсюда d Î L3 Û х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить с1, с2 и с3 и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

 

VI. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение, примеры и свойства линейных операторов

Пусть L и L1 – два линейных пространства над полем Р .

Определение 31. Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия j(а + в) = j(а) + j(в) и j(lа) =lj(а).

Элемент j(а) называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента j(а).

Определение 31 эквивалентно

Oпределению 311: Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов a, b Î Р выполняется условие j(а+ в) = a×j(а) + b×j(в).

Примеры. 1. Отображение j(а) = 01, где а – любой вектор из L , а 01 – нулевой вектор из L1, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.

2. Отображение j (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.

3. Пусть е = (е1, е2, е3,… , еn ) – базис в пространстве Ln и L1 = <е1, е2, е3>. Пусть j (х1е1 + х2е2 + х3е3 + …+ хn еn ) = х1е1+ х2е2 + х3е3 . Заданное отображение j есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L1. Этот оператор называется проекцией пространства Lна L1.

Пусть е = (е1, е2,… , еn ) – базис в пространстве L и f = (f1, f2, … , fn ) – упорядоченная совокупность векторов из L1.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор j, действующий из L в L1, при котором j(ек ) = fк для всех к = 1, 2, … , n .

Доказательство. Если а – любой вектор из L , то а = х1е1 + х2е2 + … +хn еn . Зададим отображение j следующим образом: j (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn . Так как j (аL1, то j действует из L в L1. Если l Î Р, то j(lа) = l×х1f1 + l х2f2 + … + l хn fn = l (х1f1 + х2f2 + … +хn fn) = l j (а). Если в = у1е1 + у2е2 + … +уn еn,то j(а + в) = (х1 + у1) f1 + (х2 + у2 )f2 + … + (хn + уn) fn= (х1f1 + х2f2 + … + хn fn ) + (у1е1 + у2е2 + … +уn еn ) = j(а) + j(в). Итак, j - линейный оператор из L в L1. Кроме того j (ек ) = 1×fк . Следовательно, j - искомый линейный оператор. Обратно, если y - любой линейный оператор, при котором y (eк ) = fк , то по определению линейного оператора y (а) =y (х1е1 + х2е2 + … +хn еn) = х1y(е1) + х2y(е2) + … + хny(еn) = х1f1+ х2f2 +…+ хn fn = j(а). Следовательно, j - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L1 достаточно выбрать базис (е1, е2,… , еn ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f1, f2, … , fn ) в пространстве L1 и задать отображение по правилу: j (х1е1 + х2е2 + … +хn еn ) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn.

Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор j: L3 ® L5 задан по правилу j(х1е1+ х2е2+ х3е3 ) = х1а1+ х2а2+ х3а3.Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. j (с) = 5а1а2 + 3а3 = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть j: Ln ® Lm линейный оператор.

10. j (0) = 01, где 0 и 01 – нули пространств Ln и Lm соответственно.

20. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть j: Ln ® Lm и y: Lm ® Lк . Тогда (y×j): Ln ® Lк . Если а и в – любые два вектора из Ln и l - любой элемент из поля Р, то (y×j)(а + в) = y (j (а + в)) = y (j (а) + j (в)) = = y (j (а)) + y (j (в)) = (y×j)(а) + (y×j)(в); (y×j)(lа) = y (j (lа)) = y (l ×j (а)) = = (y (j (а)) = (y×j)(а). Итак, отображение (y×j) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (y×j) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов j: Ln ® Lm и y: Ln ® Lm называется такое отображение w: Ln ® Lm , что для любого элемента а Î Ln верно равенство w (а) = j (а) + y (а).

30. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть а, в Î L и a, b Î Р. Тогда w (а+ b×в) = j (а+ b×в) + y (а+ b×в) = (a×j(а) + + b×j(в)) + (a×y(а) + b×y(в)), Следовательно, по определению 311, w - линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

40. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора j: Ln ® Lm и элемента l Î Р называется такое отображение из Ln в Lm , что (lj)(а) = (j (а)) для любого а Î Ln .

50. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

60. 1×j = j для любого линейного оператора j.

70. 0×j – нулевой оператор для любого линейного оператора j.

80. Если j и y – два линейных оператора, a, b Î Р, j: Ln ® Lm и y: Ln ® Lm , то (a×j + b×y) – линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства Ln в Lm является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.

 

Область значений и ядро линейного оператора

Пусть j: Ln ® Lm линейный оператор.

Определение 33. Областью значений оператора j называется множество j (Ln) образов всех элементов из Ln .

Теорема 32. Область значений линейного оператора j: Ln ® Lm есть линейное подпространство в Lm .

Доказательство. По определению линейного оператора j (Ln) Ì Lm. Пусть в и с – любые два вектора из j (Ln). Тогда существуют такие векторы а1 и а2 из Ln , что j(а1) = в, j (а2) = с. Тогда, по определению 311, j(aа1 + bа2) = aj(а1) + bj(а2) = aв+ bс. Так как aа1 + bа2Î Ln , то j(aа1 + bа2) Î j (Ln), т.е. aв+ bс Î j (Ln). Отсюда следует, что j (Ln) – линейное подпространство в Lm .

Определение 34. Ядромлинейного оператора j: Ln ® Lm называется множество всех векторов из Ln , отображающихся в нулевой вектор пространства Lm .

Теорема 33. Ядро линейного оператора j: Ln ® Lm является линейным подпространством в пространстве Ln . (Обозначение ядра Ker(j) )

Доказательство. По определению ядра Ker(j) Ì Ln . Если а1и а2 Î Ker(j), то j (а1) = 0, j (а2) = 0. Но тогда j(aа1 + bа2) = aj(а1) + bj(а2) = 0 +0 = 0 Þ aа1 + bа2Î Ker(j). Итак, Ker(j) – линейное подпространство в пространстве Ln .

Примеры. 1. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор j: L3 ® L5 задан по правилу j(х1е1+ х2е2+ х3е3 ) = х1а1+ х2а2+ х3а3.Найти j(L3) и Ker(j).

Решение. Так как х1, х2, х3 – любые элементы поля коэффициентов Р, то х1а1+ х2а2+ х3а3– любой вектор из линейной оболочки < а1, а2, а3 >. Итак, j(L3) = < а1, а2, а3 >.

j(х1е1+ х2е2+ х3е3 ) = 0 Û х1а1 + х2а2 + х3а3 = 0 Û х1(1, 4, –1, 3, 0) + х2(3, 0, 1, –3, 7)+ + х3(1, 1, 2, 2, 0) = (х1 + 3х2 + х3 , 4х1 + х3 , –х1 + х2 + 2х3 , 3х1 –3х2 + 2х3 , 7х2 ) = 0 Û

Для нахождения х1, х2. х3 получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х1 = х2 = х3 = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.

2. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5) – реперы в L3 и L5 соответственно. Пусть линейный оператор j : L5 ® L3 задан правилом j( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = х1е1+ х2е2+ х3е3. Найти j(L5) и Ker(j).

Решение. Очевидно, j(L5) = < е1, е2, е3> = L3. Найдём ядро.

j( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = 0 Û х1е1+ х2е2+ х3е3 Û х1 = х2 = х3 = 0. Итак, ядро состоит из векторов вида а = (0, 0, 0, х4, х5 ), где х4, х5 – любые элементы поля Р.

 

Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа

Пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р и j: Ln ® Lm линейный оператор. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е1, е2,… , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. Если j(е) = (j(е1), j(е2), … , j(еn)),то все векторы j(ек) Î Lm . Выразим их через базис f.

(31) Матрица А = называется матрицей оператора j в паре базисов е и f.

Формулы (31) можно записать в матричном виде: j(е) = f×А(32)

Пусть а – произвольный вектор из Ln и j(а) – его образ в Lm . Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х1 – столбец координат вектора j(а) в базисе f. Тогда а = е× х , j(а) = j(е) ×х, j(а) = f×х1. Следовательно, j(е) ×х = f×х1. Используя (32), получим (f×Ах = f×х1, или f×(А×х) = f×х1. Отсюда х1 = А×х (33).

Следствие. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из Ln в Lm соответствует единственная матрица размерности m´nс элементами из поля Р.

Теорема 34.Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности m´nс элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из Ln в Lm .

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р и пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е1, е2,… , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. В пространстве Lmзададим векторыа1 = (a11, a21, … , am1), а2 = (a12, a22, … , am2), … , аn (a1n, a2n ,… , amn ). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть j(ек)= ак для любого к = 1, 2, … , n . По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из Ln в Lm , и множеством матриц размерности m´nс элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в Ln и Lm зафиксированы базисы е = (е1, е2,… , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из Ln в Lm , изоморфно линейному пространству матриц размерности m´nс элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из Ln в Lm , равна m×n .

Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов

Пусть даны два линейных пространства Ln и Lm над полем Р. Пусть в Ln зафиксированы базисы е = (е1, е2,… , еn ) и е1 = (е11, е21,… , еn1 ), а в пространстве Lm – базисы f = (f1, f2, … , fm ) и f1 = (f11, f21, … , fm1 ). Пусть j: Ln ® Lm линейный оператор, А – его матрица в паре базисов е и f и А1 – матрица этого же оператора в паре базисов е1 и f1. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, а Q – матрица перехода от f к f1. Тогда е1= е×Т, f1 = f×Q , j(е) = f×А, j(е1) = f1×А1. Отсюда j( е×Т) = ( f×Q )×А1, j(еТ = f×(Q ×А1). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т–1. Из последнего равенства получаем, что j(е) = ( f×(Q ×А1))×Т–1 = f×(Q ×А1×Т–1). Но j(е) = f×А. Следовательно, А = Q ×А1×Т–1, или А1 = Q–1 ×А×Т (34)

Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор j: L3 ® L5 задан по правилу j(х1е1+ х2е2+ х3е3 ) = х1а1+ х2а2+ х3а3.Составить матрицу оператора j и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение.Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L3 в базисе f пространства L5 . По данному правилу получим j(е1) = 1×а1 = (1, 4, –1, 3, 0), j(е2)= 1×а2 = (3, 0, 1, –3, 7), j(е3)= 1×а3 = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А = Координаты вектора j(с)можно найти по формуле (33), а именно, х1 = А×х.   × = .

Итак, j(с) =(5, 23, 0, 24, -7) в пространстве L5 . (Сравните с решением этого же примера в пункте 6.1.)

 

Линейные преобразования линейного пространства

j : L® L Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных… 1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ), то матрица А линейного преобразования j : Ln® Ln…

Невырожденные линейные преобразования

Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства. Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется… Теорема 36. Линейное преобразование j линейного пространства Ln является невырожденным тогда и только тогда, когда…

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j(а) = l×а для некоторого l Î Р. Элемент l… По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j… Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не…

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е– диагональная. Тогда j(ек) = lкек для любого к = 1, 2, … , n. Но это… Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда j(ек) = lкек.… Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой…

VII. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

Пусть L линейное пространство над полем Р. В L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение векторов на элементы поля Р, Введём ещё одну внутреннюю алгебраическую операцию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов. В основу определения этой операции положим те свойства скалярного произведения геометрических векторов, которые были получены в аналитической геометрии. При этом определения скалярного произведения в случае, когда поле Р является полем действительных чисел, отличается от случая, когда Р = С.

Определение 43

Свойства скалярного произведения. а) Р = R 10. (а, aв) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R; 20. (a ×…   Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется…

Матрица Грама в евклидовом пространстве

скалярного произведения векторов, заданных координатами. Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 +… Свойства матрицы Грама.

Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Еnn-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения а2 ³ 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора . т.е. ú аú = (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú аú ³ 0.

2. ú аú = úaú×ú аú для любого а Î Еn .

3. Для любых векторов а и в из Еn верно неравенство ú а×вú £ú аú ×ú вú.

Доказательство. (а –aв)2 = а2 – 2a(а, в) + a2×в2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)2а2× в2 £ 0, или (а, в)2 £ а2× в2. Отсюда ú а×вú £ú аú ×ú вú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48.Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а ¹ 0, то ú аú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а0 = а. Очевидно, ú а0ú =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами аи называется такое действительное число j , что (46).

Угол между векторами а и можно также обозначать.

Свойства углов.

10.Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.

20. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.

30. Если а ^ в, a ¹ 0, b ¹ 0, то (aа)^ (bв).

40. Если а ^ в и а ^ с, то а ^+ с).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

50. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Еn .

Доказательство.

Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn . Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а, с) = 0 (*). Зафиксируем в Еn базис. Пусть а = (а1, а2, … , аn), с = (х1, х2, … , хn). Тогда с Î L Û а Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.

Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим Емножество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек .Иными словами с Î ЕÛ (с, а) = 0 для всех а Î Ек . Пространство Еортогональным дополнением к пространству Ек .

60.Ортогональное дополнениеЕ является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn .

Доказательство аналогично доказательству свойства 50.

70.ЕÇ Ек = {0}.

80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пустьа ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что а + в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а.Получим а2+ (а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а2¹ 0 , то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.

90. Если а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1 £ к £ n ) Еn = ЕÅ Ек .

Доказательство. Пусть (е1, е2,... , ек ) – базис в Ек и (ек +1, е к + 2,... , еn ) – базис в Е. Из свойства 90 следует, что (е1, е2,... , ек, ек +1, е к + 2,... , еn ) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов,то это базис в Еn . Следовательно, Еn = Е+ Ек .Из свойства 70 следует Еn = ЕÅ Ек .

Пусть Еn = ЕÅ Ек . Если а – любой вектор из Еn , то а = а1 + а2, где а1 Î Ек , а2 Î Е. Вектор а1 называется проекцией вектора а на подпространство Ек .Вектор а2 называется ортогональной составляющей вектора а.

 

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный. Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис… Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Изоморфизм евклидовых пространств

Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1. Доказательство. Þ Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как… Ü Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы е = (е1, е2,... , еn) и е1…

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

 

Ортогональные линейные преобразования

(а, в) = (j(а), j(в)) (49) Свойства ортогональных преобразований. Пусть j – ортогональное преобразование пространства Е.

Сопряженные линейные преобразования

Определение 55. Линейное преобразование j*: Еn ® Еn называется сопряжённым к преобразованию j, если для любых двух векторов а и в из Еn выполняется… (а, j(в)) = (j*(а), в) (52) Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований связаны формулой А = Г–1×(А*)Т×Г.

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования

Из формулы (52) следует, что линейное преобразование j евклидова пространства будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда (а, j(в)) = (j(а),… Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2,... , еn), Г – матрица Грама и А –… Теорема 56. Линейное преобразование является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе…

IX. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

 

Линейные формы

Определение 58. Линейное отображение f : Ln ® Р называется линейной функцией или линейной формой, заданной на Ln . Если е = (е1, е2,... , еn) – базис в Ln , а – любой вектор из Ln , то а = х1е1… Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде a1х1 + a2х2+ … + anхn .

Билинейные формы

Определение 59. Отображение f : (Ln ´ Ln ) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на Ln , если для любых… f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f… (Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Квадратичные формы

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln (j(а) = f(а, в) ). При… Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2,… , еn) и а = х1е1 + х2е2 + … +… j(а) = (59)

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

1) Все коэффициенты aкк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из… j(а) = a12у12 – a12у22 + y , где y не будет содержать у12 и у22, поэтому эти… 2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть a11¹ 0. Соберём в форме j(а) все…

Закон инерции квадратичных форм

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а). Пусть в Ln задан базис е = (е1, е2,… , еn) и… Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве… Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид…

Распадающиеся квадратичные формы

Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма… Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение… Þ Пусть квадратичная форма j распадающаяся. Тогда

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение… 2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. 3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение…

ЛИТЕРАТУРА

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974 (и все последующие издания ).

2. Половицкий Я.Д. Алгебра. Части 1 и 2. – Пермь: ПГУ, 2010.

3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные задачи. – М: Финансы и статистика, 2003.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1959 ( и все последующие издания).

5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь, ПГУ, 1996.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984 (и все последующие издания)

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Беклемышев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 2000.

2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1984.

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Линейная алгебра. Лабораторные работы 1 – 7 и 8 – 13. – Пермь: ПГУ, 2006.

2. Методические указания к лабораторным работам по алгебре и геометрии. – Пермь: ПГУ, 1984.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: ная, Алгебра0.059

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Линейная алгебра
Действия над матрицами... Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица элементов чисел... В записи элемента аij первый индекс i определяет номер строки а второй индекс j номер столбца на пересечении которых находится данный элемент...

Б 2. Б.2. Линейная алгебра
Кафедра математики... Б Б Линейная алгебра Направление подготовки специальность...

Линейная алгебра
Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Рабочая программа дисциплины Линейная алгебра
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... факультет ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ...

И естественнонаучных дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Линейная и векторная алгебра
ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

0.038
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам