Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть L – Линейное Пространство Над Полем ...
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е1, е2,… , еn ) и е1= (е11, е21,… , еn1 ). Пусть
(23)
Если ввести матрицу
Т = ,
то систему (23) можно записать в матричном виде
е1 = е×Т (24).
Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как векторы е11, е21,… , еn1 линейно независимы, то матрица Т невырожденная.
Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (a1, a2, … , an)Т, а в базисе е1его координаты х1 = (b1, b2,…, bn)Т, то а = е×х и а = е1×х1. отсюда е×х = е1×х1. Используя формулу (24), получим е×х = (е×Т)×х1 = е× (Т×х1). Отсюда х = Т×х1(25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.
Пример. Пусть е = (е1, е2, е3 , е4 ) – базис в пространстве L4. Пусть е11 = 2е1 – 3е3 , е21 = е2+ е4 , е31 = 4е1 + е2– е4 , е41 = е2+ 3е3 – е4 ; е111 = е1+ е2 , е211= е1 – е3 , е311= е3+ е4 , е411 = е3 – е4 . Покажите, что е1= (е11, е21,… , еn1 ) и е11= (е111, е211,… , еn11 )являются базисами в L.. Вектор а в базисе е1 имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е11.
Решение. Составим определители матриц перехода Т1и Т2 от базиса е к е1и е11 соответственно.
|Т1|= ,
|Т2| = ,
|Т1|==–12
|Т2| = = 2. Так как матрицы Т1иТ2 невырожденные, то е1и е11 – базисы.
Из формулы (25) следует х= Т1×х1, х= Т2×х11. Отсюда Т1×х1= Т2×х11, х11 = (Т2-1×Т1)×х1.
Найдём Т2-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т2.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов