Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пространство решений системы линейных однородных уравнений - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть Дана Система (30) Линейных Однородных Уравнений С Коэффициентами Из Пол...
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.
(30)
Так как столбец свободных членов в матрице А1 этой системы состоит только из нулей, то rang A = rang A1, т.е. система линейных однородных уравнений всегда совместна. В частности она всегда имеет нулевое решение. Рассмотрим множество всех возможных решений системы (30).
Пусть a =(a1, a2, … , an) и b =(b1, b2, … , bn) – любые два из них. Их можно рассматривать, как векторы в арифметическом n-мерном пространстве над полем Р. Пусть l – любой элемент поля Р. Тогда a +b = (a1 + b1, a2+ b2, … , an + bn ), l×a = (la1, la2, … , lan). Подставим компоненты этих векторов в произвольное s-е уравнение системы (30). Получим Итак, если a и b – любые два решения системы (30) и l – любой элемент поля Р, то a +b и l×a тоже являются решением этой системы. Но тогда из теоремы 14 следует
Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn .
Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.
Доказательство. Пусть L – пространство решений системы (30). Тогда L Ì Аn . Пусть a = (a1, a2, … ar, ar+1, … , an) – произвольное решение системы. Пусть (ar+1, … , an) – набор свободных неизвестных, соответствующий этому решению. Множество всех возможных наборов свободных неизвестных есть арифметическое (n – r)-мерное пространство Аn–r . Зададим отображение j: L ® Аn–r по правилу
Покажем, что j – изоморфизм (определение 24). Для этого нужно проверить три условия.
1. Покажем, что j – взаимнооднозначное отображение. Решению a = (a1, a2, … ar, ar+1, … , an) соответствует только один набор (ar+1, … , an), следовательно, j – однозначное отображение. Обратно, если задать элемент (ar+1, … , an) из Аn–r , то по теореме Крамера найдётся только один набор (a1, a2, … ar ) искомых неизвестных, т.е. каждый элемент j(a) из Аn–r соответствует единственному элементу из L .
2. j(la) = (lar+1, … , lan ) = l×(ar+1, … , an ) = l×j(а).
Итак, пространство решений системы линейных однородных уравнений изоморфно арифметическому (n – r)-мерному пространству. Следовательно, размерность L равна (n – r).
Определение 29. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.
Так как при изоморфизме базис пространства Аn–r соответствует базису пространства L ,то для того. чтобы найти фундаментальную систему решений для системы (30), достаточно выбрать (n – r) линейно независимых наборов свободных неизвестных и для каждого из них найти решение данной системы.
Следствие.Если а1, а2, …, аn–rфундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (30) и С1, С2, … , Сn–r – произвольные элементы поля Р, то С1а1 + С2а2 + … + Сn–rаn–r – общее решение этой системы.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(30)
Итак, если a и b – любые два решения системы (30) и l – любой элемент поля Р, то a +b и l×a тоже являются решением этой системы. Но тогда из теоремы 14 следует
Новости и инфо для студентов