Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пусть ...
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30) удовлетворяют следующим свойствам:
(30)
10. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).
Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А×х = в (31) и А×х= 0 (32). По условию А×а = в, А×с= 0. Следовательно, А×(а + с) = А×а+ А×с= в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).
20. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.
Пусть а и с –решения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. А×а = в и А×с = в. Тогда А×(а – с) = А×а – А×с= в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).
30. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).
Согласно 10, при любом свектор(а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 20, разность (d – а) будет решением системы (30). Обозначив (d – а) = с, получим d = (а + с).
Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r– фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид
d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–rаn–r , где С1, С2, … , Сn–r– любые элементы поля Р.
(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)
Доказательство является следствием предыдущих свойств.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов