Линейные преобразования линейного пространства - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 35. Линейным Преобразованием Линейного Прост...
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L® L
Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.
1. Если в пространстве Lnзафиксирован базис е =(е1, е2,… , еn ), то матрица А линейного преобразования j : Ln® Ln имеет вид
А = ,
столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.
(35)
2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j(е) = е×А.
3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х1= А×х (36)
4. Если в пространстве Lnзафиксированы два базиса е =(е1, е2,… , еn) и е1=(е11,е21,… , еn1) и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т-1×А×Т (37).
Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.
5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.
6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.
Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С–1может быть матрицей перехода. Пусть е1= е×С–1. Тогда преобразование j в базисе е1будет иметь матрицу С–1×А×(С–1)–1 = С–1×А×С = В.
7. dim (j(Ln)) + dim (Kerj ) = n.
8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .
Определение 37.Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .
Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln*.
9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln* ) = n2.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Линейные преобразования линейного пространства
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
,
столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.
(35)
Новости и инфо для студентов