рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть LN – Линейное N-Мерное Простр...

Пусть L_n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : L_n® L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j(а) = l×а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значениемпреобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $l Î Р : j(а) = l×а. Перепишем это равенство в координатах, получим А×х = l×х. Отсюда А×х – (lЕ)×х= О, или (А –lЕ)×х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)×х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)

преобразования j Û (х₁, х₂, … , х_n ) – ненулевое решение системы (39), при этом все х_к принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.

(40)

имеет место равенство (40). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицыА. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l₀ Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l₀ система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l₀ будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С^–1×А×С – lЕ | = | С^–1×А×С – С^–1 ×(lЕ)×С | = | С^–1×(А – lЕ)×С | = |С^–1 || А – lЕ ||С| = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобны, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41.Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j : L_n® L_n , действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j : L₄® L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е₁, е₂, е₃,е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l )² – 1]×[(1– l )×(3 –l ) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 –l )² – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l₁ = 0, l₂= 2.

2) (1– l )×(3 –l ) – 6 = 0, l² – 4l – 3 = 0, l₃ = , l₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х₂ = – х₁. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим

Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3С, то х₂ = –3С, х₃ = 13С, х₄ = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При l = 2.

Отсюда х₂ = х₁. Подставим в третье и четвёртое уравнения.

Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7С, то х₂ = 7С, х₃ = –15С, х₄ = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х₁ = х₂ = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х₃ – любое отличное от нуля действительное число. Если х₃ = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х₁ = х₂ = 0 . Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х₃ – любое отличное от нуля действительное число. Если х₃ = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a×а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а ) = lа, то j(aа) =aj(а) = a(lа) = l(aа).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j : L_n® L_n , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n.

Пусть а и в два собственных вектора и j(а ) = lа, j(в) = lв. Тогда j(aа+ bв) = aj(а) + bj(в) = a(lа) + b(lв) = l(aа + bв).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j(а ) = lа, j(в) = l₁в, l ¹ l₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = aа. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j(в) = j(aа). Отсюда l₁в = a(lа), l₁(aа) = a(lа), a(l₁ – l)а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l₁ – l ¹ 0, а¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂,... , е_к, … , е_n ) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и а_кк = l.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие Пермь 2011 ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос