рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 51. Базис Е = (...

Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) пространства Еn называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные.

Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный.

Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис называется нормированным. Если базисные векторы попарно ортогональны, но не все единичные, то базис называется ортогональным.

Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Доказательство. Пусть е = (е1, е2,... , еn) – произвольный базис пространства Еn. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем.

Пусть е11 = е1. Если е2 ^ е1, то возьмём е21 = е2. Найдём коэффициент a так, чтобы вектор е21 = aе1 + е2 был ортогонален вектору е11. Так как вектор е21 ¹ 0, то для этого необходимо и достаточно, чтобы (е11, е21 ) = 0, т.е. (е1, aе1 + е2) = 0. Отсюда aе12+ (е1, е2) = 0. Так как е1 ¹ 0. то Так как е11 и е21 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор е31 будем искать в виде е31 = a1 е11 + a2 е21 + е3.Для того, чтобые31 был ортогонален е11 и е21, необходимо и достаточно, чтобы (е11, е31) = (е21, е31) = 0. Получаем систему

Так как определитель этой системы отличен от нуля (по формуле 43) то система имеет и только одно решение. Следовательно,

вектор е31 найдётся и только один. Так как векторы е11, е21, е31 попарно ортогональны, то они линейно независимы. Если векторы е11, е21, … , еn–11 уже получены, то вектор еn1 будем искать в виде еn1 = b1×е11+ b2×е21 + … + bn–1×еn–11 + еn . Так как вектор еn1 должен быть ортогонален ко всем предыдущим, то для нахождения коэффициентов b1, b2, … , bn–1 получим систему уравнений (е11, еn1) = (е21, еn1) = … = (еn–11, еn1) = 0. Можно показать, что эта система всегда имеет решение и только одно. Итак, базис е1 = (е11, е21,... , еn1) –ортогональный. Разделив каждый полученный вектор на его длину, получим ортонормированный базис.

Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную матрицу Грама.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе (ек, ек) =1, (ек, еs )= 0, если к ¹ s.

Следствие. Если вектор а в ортонормированном базисе имеет координаты (х1, х2,…, хn), то ½а½= (47).

Теорема 45.Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

Г = . Пусть е = (е1, е2,... , еn) ортонормированный базис и Т – матрица перехода от данного базиса к базису е. В базисе е матрица Грама – единичная. По формуле (41) Е = ТТ×Г×Т. Отсюда 1 = |Г |×|Т |2. Так как |Т |2 > 0, то |Г | > 0. Так как < е1, е2,... , ек> – евклидово подпространство пространства Еn стем

же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

1. А =   Матрица А не может быть матрицей Грама, так как в матрице Грама все диагональные элементы должны быть положительными.
2. В = Матрица В не может быть матрицей Грама, так как матрица Грама должна быть симметрична относительно главной диагонали.
3.С = Матрица С не может быть матрицей Грама, так как |С | = –81 < 0, а определитель матрицы Грама должен быть положителен.  
4.D = Матрица D – симметрическая, диагональные элементы положительны, |D| = 5 > 0, = 7 > 0. Следовательно, D является матрицей Грама.

Теорема 46. Если в ортонормированном базисе а = (х1, х2, … , хn) и в = (у1, у2, … , уn ), то (а, в) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn (48).

Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение имеет единичную матрицу, поэтому

(а, в) = хТ×Е×у = хТ×у = (х1, х2, … , хn) ×= х1у1 + х2у2 + … + хnуn.

Пример. В пространстве Е4 задан ортонормированный базис и векторы а1= (2, 1, 1, 2) и а2 = (–3, 2, –5, 1). Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке L = <а1, а2 >.

Решение. Если L^, то в Î L^ Û (а1, в) = (а2, в) = 0. Пусть в = (х1, х2, х3, х4). Так как базис ортонормированный, то (а1, в) = 2х1 + х2 + х3 + 2х4 , (а2, в) = –3х1 + 2х2 –5х3 + х4 . Следовательно, в Î L^ Û Решая эту систему, получим, что

в = (–С1 2 , С1 – 8С2 , С1 , 7С2), где С1 , С2 – любые действительные числа.

Отсюда следует, что L^ - двумерное линейное пространство, натянутое на векторы

в1 = (–1, 1, 1, 0), в2 = (–3, –8, 0, 7), т.е. L^ = <в1, в2 >.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие   Пермь 2011   ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN   Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
  Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
  1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги