Изоморфизм евклидовых пространств - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 52. Два Евклидовых Пространства Е...
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов а, а1и в, в1 выполняется равенство (а, в) = (а1, в1).
Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1.
Доказательство. Þ Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E 1.
Ü Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы е = (е1, е2,... , еn) и е1= (е11, е21,... , еn1) соответственно. Зададим отображение j: Е® Е1 по следующему правилу. Если а Î Е и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то пусть j(а) = х1е11 + х2е21+ … + хnеn1. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е1. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть в Î Е и в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда j (в) =у1е11+ у2е21+ … + уnеn1. Так как базис е ортонормированный, то (а,в)= х1у1+ х2у2 +…+ хnуn. Так как базис е1 ортонормированный, то (j(а), j(в)) = х1у1+ х2у2 + … + хnуn. Следовательно, (а,в) = (j(а), j(в)). Итак, j - изоморфизм между Е и Е1.
Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Изоморфизм евклидовых пространств
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов