Ортогональные линейные преобразования - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 53. Линейное Преобразование J Евклидо...
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие
(а, в) = (j(а), j(в)) (49)
Свойства ортогональных преобразований.
Пусть j – ортогональное преобразование пространства Е.
10. | а| = |j(а)| для любого вектора а.
| а| = = = | j(а)|.
20. = для любых векторов а и .
30. Пусть Еn конечномерное евклидово пространство, е = (е1, е2,... , еn) – базис в нём, А – матрица преобразования j и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда j(а) = А×х, j() = А×у, где х и у –столбцы координат векторов а и соответственно; (а, ) = хТ×Г×у, (j(а), j()) = (А×х)Т×Г×( А×у) = хТ×(АТ×Г×А)×у. Так как (а, ) = (j(а), j()), то Г = АТ×Г×А. Итак, матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию
Г = АТ×Г×А (50)
Справедливо и обратное. Если в Еn зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (48), задаёт ортогональное преобразование.
Если базис е = (е1, е2,... , еn) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид
АТ× А = Е, или АТ = А–1.
Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если
АТ = А–1 (51).
Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.
Доказательство следует из свойства 30 и определения 53.
Теорема 49.Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.
Доказательство следует из формулы 51.
Теорема 50.Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.
Доказательство. Þ Пусть j : Еn ® Еn ортогональное преобразование и пусть е = (е1, е2,... , еn) ортонормированный базис в Еn . Если А – матрица этого преобразования в базисе е, то А – ортогональная. Но тогда j(е) = е×А. Распишем это равенство, если
А = .
| Получим j(ек) = а1ке1 + а2ке2 + … + аnкеn . Так как базис е ортонормированный, то
(j(ек))2 = = (ек)2 = 1, т.е. все векторы j(ек) единичной длины. По той же причине (j(ек), j(ер)) = а1к×а1р + а2к×а2р + … + аnк×аnр = (ек , ер ) = 0,
|
|
если к ¹ р, т.е. j(ек) ^ j(ер). Так как векторы системы j(е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т.е. j(е) – базис. Итак, j(е) – ортонормированный базис.
Ü Пусть е и j(е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = (j(ек))2 = и 0 = (j(ек), j(ер)) = а1к×а1р + а2к×а2р + … + аnк×аnр при к ¹ р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.
Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то |А | = ± 1.
Действительно, если матрица А ортогональная, то АТ× А = Е. Отсюда |АТ×А | = |Е |, |АТ|×| А| = 1, |А|×|А| = 1, |А|2 = 1, |А| = ±1.
Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1 или (–1).
Доказательство. Пусть l – собственное значение ортогонального преобразования j.
Тогда существует такой ненулевой вектор (х1, х2, … , хn )Т, что А×х = l×х, где А – матрица преобразования j. Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим . Перемножим почленно оба равенства. . Так как А – действительная ортогональная матрица, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. |l|2 = 1. Но это и значит, что собственными значениями могут быть только числа 1 и (–1).
Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.
Доказательство. Для любых а и в из Еn имеет место (а, в) = (j(а), j(в)) = (l1а, l2в) = = l1l2(а, в). Так как l1 ¹ l2, то, согласно предыдущей теоремы, l1 =1, l2 = –1. Следовательно, (а, в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.
Все темы данного раздела:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами.
Определение 8. Суммой двух матриц одинаков
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто
Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р.
Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо
Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются
Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност
Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р
Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.
Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln
Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,
Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про
Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны
VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с
Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn .
Определение 55. Линейное преобразование
Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое
Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln
Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р .
Определение 59. Отображение f
Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (
Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Новости и инфо для студентов