Определители второго и третьего порядков - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Одним Из Источников Появления Определителей 2-Го И 3-Го Порядков Являются Сис...
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система (1)
Если обе части первого уравнения умножить на , а второго – на и уравнения почленно вычесть, то получим Аналогично, если первое уравнение умножить на и вычесть из него второе уравнение, умноженное на , то получим Если ¹ 0, то х = у = . Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных формул, имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа. Если числа, используемые для знаменателя, записать в виде матрицы , то знаменатели получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие определителя.
Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы , называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.
Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы ) называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.
Определитель матрицы обозначается .
Обозначим D = , D1 = , D2 = . Используя определение 2, получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам х = , у = (2). Эти формулы называются формулами Крамера.
Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:
(3)
Умножим первое уравнение на , второе уравнение – на , третье уравнение – на и почленно сложим. Получим х× =
= . Легко заметить, что коэффициент при х и правая часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.
Пусть дана матрица А = .
Определение 3. Определителем матрицы А(определителем третьего порядка) называется число, равное D = (4).
Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то получим, что (5).
Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:
1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и столбцы равноправны..
2. D = .
Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед множителем равен . Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их самостоятельно).
3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам: х = , у = , (6),
где D1, D2, D3 получаются из определителя D заменой первого, второго, третьего столбца соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами Крамера.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Определители второго и третьего порядков
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов