Билинейные формы - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть LN – N-Мерное Линейное Пространство ...
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р .
Определение 59. Отображение f : (Ln ´ Ln ) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на Ln , если для любых векторов а, в, с и любого элемента aÎ Р выполняются условия:
f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f (a×а) = a×f(а).
(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)
Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,... , еn), а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn,
в = у1е1 + у2е2 + … + уnеn, f (ек , ер) = aкр . Тогда из определения 58 следует
f (а, в) = f () = = , где aкр – элементы поля Р.
Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.
Матрица А =
называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде:
f (а, в) = хТ× А × у (56)
Если е1= (е11, е21,... , еn1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Т×х1, у =Т×у1. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх1)Т× А × (Ту1) = (х1)Т×(ТТ×А×Т)×у1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой
А1 = ТТ×А×Т (57)
Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если
f (а, в) = f ( в, а) для любых векторов а и в. (57)
Очевидно, верно следующее утверждение:
Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.
Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.
Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно
(а, в)= х Т×Г×у. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Билинейные формы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
) = 
= 
, где aкр – элементы поля Р.
Новости и инфо для студентов