Система векторов называется базисом пространства , если любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:
.
Числа называют коэффициентами разложения вектора по базису .
В пространстве примером базиса может служить система единичных ортов: . Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами разложения любого вектора по базису являются координаты этого вектора. Например, .
В пространстве естественный базис образует система векторов .
Теорема 5. Если система векторов образуют базис в , то она линейно независима.
Теорема 6. Любые линейно независимых векторов пространства образуют в нем базис.
Пример 3. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы , , . Определить образуют ли векторы , и базис в пространстве и если да, то разложить вектор по этому базису.
Решение. Составим определитель из векторов , и :
Т.к. , то система - линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве . Значит, вектор может быть единственным образом представлен в виде:
с пока неизвестными коэффициентами Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:
,
откуда:
.
Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим: , . Следовательно,
.n