Комплексные числа

Комплексные числа применяются, в частности, для решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

 

Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается , т.е. , .

Действительное число является частным случаем комплексного при . Комплексные числа вида , не являющиеся действительными (т.е. при ), называются мнимыми, а при , , т.е. числа вида - чисто мнимыми.

 

Числа и называются сопряженными. Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если , . В частности , если и .

 

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом:

 

1. Сложение (вычитание) комплексных чисел:

.

2. Умножение комплексных чисел:

.

 

В частности,

3. Деление двух комплексных чисел:

Пример 7. Даны два комплексных числа и . Найти , , , .

Решение.

 

,

,

,

.

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получаем:

 

.n

 

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

Решение.

 

Используя, хорошо известную формулу нахождения корней квадратного уравнения, получим:

.

Проверить правильность решения можно с помощью теоремы Виета:

Действительно,

.n

 

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости .

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначное. Оси и , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями (рис. 4).

 

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается :

.

Угол , образованный радиус-вектором с осью , называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Очевидно, что

, .

Следовательно, комплексное число можно представить как:

.

Данное представление комплексного числа, где , , называется тригонометрической формой комплексного числа.