Комплексные числа

Комплексные числа применяются, в частности, для решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается , т.е. , .

Действительное число является частным случаем комплексного при . Комплексные числа вида , не являющиеся действительными (т.е. при ), называются мнимыми, а при , , т.е. числа вида - чисто мнимыми.

Числа и называются сопряженными. Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если , . В частности , если и .

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом:

1. Сложение (вычитание) комплексных чисел:

2. Умножение комплексных чисел:

В частности,

3. Деление двух комплексных чисел:

Пример 7. Даны два комплексных числа и . Найти , , , .

Решение.

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получаем:

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

Решение.

Используя, хорошо известную формулу нахождения корней квадратного уравнения, получим:

Проверить правильность решения можно с помощью теоремы Виета:

Действительно,

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости .

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначное. Оси и , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями (рис. 4).