рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Действия над векторами, заданными проекциями.

Действия над векторами, заданными проекциями. - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Пусть Векторы ...

Пусть векторы и заданы своими проекциями на оси координат OX, OУ, OZ или что то же самое

,

 


Тема: РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Определение.Два (ненулевых) вектора и равны, если они равнонаправлены и имеют один тот же модуль. Все ненулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Пример 1. Векторы и (рис 5) равны.

Пример 2. Векторы и (рис 6) не равны (хотя у них длины и одинаковы), т.к. их направления различны. Векторы и то же не равны, а векторы и равны.

N

Предостережение.Нельзя смешивать понятие «равенство векторов» с понятием «равенство отрезков». Говоря: «отрезки ON и KL равны», мы утверждаем, что один из них можно совместить с другим. Но для этого может понадобиться поворот совместимого отрезка (как в расположении рис 6). В таком случае согласно определению векторы и не равны. Два вектора будут равны лишь в том случае, когда их можно совместить без поворота.

Обозначения.Запись = , выражает, что векторы и равны. Запись выражает, что векторы и не равны. Запись = , выражает, что модули (длины) векторов и равны, при этом сами векторы и могут равняться, а могут и не равняться друг другу.

Пример 3. = (рис 5), , = , = (рис 6).

 

Тема: КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Векторы , , на рис 7 коллинеарны. Векторы , , на рис 8 коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные. Так, векторы и (рис 7) равнонаправлены, векторы и (а также и ) противоположно направлены. Векторы и на рис 8 равнонаправлены, векторы и противоположно направлены.

 

 

Тема: КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Определение. Прямоугольными координатами вектора , называются алгебраические проекции вектора на оси координат. Координаты вектора обозначаются большими буквами X, Y, Z (координаты точки маленькими).

Запись:или

Вместо того, чтобы проецировать вектор на оси OX, OY, OZ можно проецировать его на оси М1А, М1В, М1С (рис 9) проведенные через начало М1 вектора и равнонаправленные с осями координат.

Пример 1. Найти координаты вектора (рис 9) относительно системы координат ОХУZ. Через точку М1 проводим оси М1А, М1В, М1С соответственно равнонаправленные с осями OX, OY, OZ.

Через точку М2 проводим плоскости М2Р, М2Q, М2R параллельно координатным плоскостям. Плоскости М2Р, М2Q, М2R пересекут оси М1А, М1В, М1С соответственно в точках Р, Q, R. Абсцисса Х вектора есть длина вектора , взятая со знаком минус; ордината У вектора есть длина вектора , взятая со знаком минус; аппликата Z – длина вектора , взятая со знаком плюс. При масштабе рис 9 Х=-4, У=-3, Z=2.

Запись:или

Если два вектора и равны, то координаты соответственно равны:

Координаты вектора не меняются при параллельном переносе системы координат. Напротив, координаты точки при параллельном переносе системы координат меняются.

Если начальная точка О вектора соответственно равны координатам конечной его точки М.

Пример 2. У вектора на рис 10 абсцисса Х=2, ордината У=-3, аппликата Z=2. те же координаты имеет точка М.

Запись:или

 


Тема: КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

Положение любой точки М в пространстве можно определить тремя координатами следующим образом: через точку М проводим плоскости МР, МQ, МR (рис 10) соответственно параллельно плоскостям XOZ, ZOX, XOY. В пересечении с осями получаем точки Р, Q, R. Числа х (абсцисса), у (ордината), z (аппликата) (латинское слово «аппликата» (applicata) в переводе означает «приложенная» (точку М можно построить так: сначала взять на плоскости XOY точку L с координатами х=ОР, у=РL, а затем «приложить» отрезок МL=z, перпендикулярно плоскости XOY)), измеряющие отрезки ОР, ОQ, ОR в избранном масштабе, называются (прямоугольными) координатами точки М. они берутся положительными или отрицательными, смотря по тому имеют ли векторы соответственно те же направления, что и основные векторы I, j, k или противоположные.

Пример. Координаты точки М на рис 10 есть: абсцисса х=2, ордината у=-3, аппликата z=2.

Запись: М(2;-3;2)

Вектор , идущий от начала координат О к некоторой точке М, называется радиусом-вектором точки М и обозначается буквой r; чтобы отличать друг от друга радиусы-векторы разных точек, при букве r ставят значки: так, радиус-вектор точки М обозначается rМ. радиусы-векторы точки А1, А2, … , Аn, обозначается r1, r2, … rn.

 

 


Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и , называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними (1), где . Формуле 1 можно придать иной вид:

, тогда получаем 2-ю формулу: (2), т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них умноженной на проекцию другого на ось сонаправленную с первым вектором.

Свойства:

1. скалярное произведение обладает переместительным свойством

доказательство:

2. скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя

доказательство:

3. скалярное произведение обладает распределительным свойством

доказательство:

4. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

доказательство:

Если вектор возвести скалярно в квадрат, а затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль

5. если векторы и не нулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , =0, справедливо и обратное утверждение =0, ≠0, ≠0

доказательство: т.к. угол φ=(а^b)= , то cos φ = cos=0

=0=0

Если =0, а ≠0 и ≠0, то cos угла равен нулю при 90

 

 


Тема: ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ

Пусть задано два вектора и :

,

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их, как многочлены, что законно в силу свойств линейности скалярного произведения. И пользуясь таблицей скалярности произведения векторов:

 

Записываем: ;

и так скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

 


Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. угол между векторами. Определение угла φ между ненулевыми векторами

отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

2. проекция вектора на заданное направление. Нахождение проекции вектора на направление заданные вектором может осуществляться по формуле:

, ;

,

3. работа постоянной силы. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующий угол φ с перемещением АВ равному какому-то S:

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S: , . Таким образом работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равно скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.


Тема: ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

 

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой, что:

1) ,

2) и ,

3) образуют правую тройку векторов.

Понятие векторного произведения также пришло из механики: если – это сила, приложенная в точке М, вектор =, то векторное произведение – это момент силы относительно точки О.

M

O

Свойства векторного произведения:

Геометрические свойства

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

||.

доказательство. Пусть угол между векторами и равен .

a) Докажем, что .

или 1800 .

б) Докажем, что .

если Þ.

Если , или .

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

доказательство. Из курса геометрии

Из свойства 2 следует, что , где – единичный вектор, перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку:

а) =1,

б) , ,

в) , , – правая тройка.

Алгебраические свойства

3. Антикоммутативность: =

доказательство. Модули векторов и равны по определению векторного произведения. Проверим их направление:

а) ||равенство выполняется;

б) и не параллельны. Но ||по определению векторного произведения, тогда либо , либо . Пусть , а . Тройка векторов правая, а тройка – левая. Следовательно, и = .

4. Ассоциативность относительно умножения на число.

проверяем модуль:

а), ,

где – угол между векторами и , а – угол между векторами и .

=>

поверяем направление:

б) если

если и .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

 

 


Тема: ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА... ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ... АЛГЕБРА МАТРИЦ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Действия над векторами, заданными проекциями.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ   Матрицей, называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины или n-столбцов одина

Модуль вектора.
Длина вектора, называется также его модулем. Модуль есть скалярная величина. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами – сл

Теорема 1.
Пусть векторы и

Теорема 2.
Смешанное произведениеравно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к

Следствие 1.
. доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовате

Следствие 2.
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.     Тема: СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Теорема 3.
Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема: СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Под системой координат на плоскости понимают способ позволяющий, численно описать положение точки плоскости. Одной из

Преобразование системы координат.
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной систем

Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем Ах + Ву + С = 0, (2.4) где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку М(хо;уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать

Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и М2(х2;у2). Уравнение прямой, проходящей через точку М1,

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(хо;уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору п = (А; В). рис.20

Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием р и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О з

Угол между двумя прямыми и условия параллельности перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угло

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги