рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения.

Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения. - раздел Математика, Лекция 1. Матрицы И Действия Над Ними. ...

Лекция 1. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия и определения.

Матрицы впервые появились в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1809-1865) и А.Кэли (1821-1895).

Примечание: Уильям Гамильтон – ирландский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1837);

Артур Кэли (Кейли) – английский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1870).

В настоящее время матрицы широко используются в прикладной математике, в частности, представляют собой удобный аппарат для компактной записи и последующего исследования и решения систем линейных уравнений.

Матрицей типа (размера) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из чисел, которые расположены в m строках и n столбцах.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Их обозначают строчными буквами с двумя индексами, например, , где i- номер строки ( ), j- номер столбца ( ), в которых расположен этот элемент.

 

Матрицы обозначают

 

 

Иногда используют обозначение матриц:

 

Соответственно элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки; j- номер столбца.

Сокращенные обозначения:

 

Используется также обозначение .

Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой А, В и т.д. При необходимости указать тип (размер) матрицы используют обозначения Используется также обозначение или

Набор называется i-й строкой матрицы А, набор

 

называется j- м столбцом матрицы А.

Рядом матрицы называется строка или столбец.

 

Элемент матрицы, стоящий в i-той строке и j- том столбце может также обозначаться . Чаще обозначается .

Элементами матрицы могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты: функции, многочлены, матрицы, например:

 

Мы будем рассматривать только числовые матрицы, т.е. матрицы, составленные из действительных чисел. Множество всех числовых матриц типа m×n , элементами которых являются действительные числа, обозначаются . Здесь - обозначение множества действительных чисел ( - множество комплексных чисел).

Если матрица имеет тип 1×n, т.е. у матрицы всего одна строка , то матрицу называют матрицей - строкой. Индекс строки можно опустить . Число элементов в матрице- строке называют ее длиной: n- длина матрицы- строки.

Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец

,

то ее называют матрицей- столбцом. Число элементов в матрице- столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить

.

Матрицу- строку и матрицу- столбец можно обозначать и .

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-строка или вектор – столбецсоответственно).

Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа отождествляется с этим числом, т.е. (5)1×1 есть 5.

 

Иногда бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов.

Пусть

 

векторы - столбцы матрицы А.

Пусть

 

векторы - строки матрицы А.

 

Тогда матрицу А можно записать в виде столбца из строк

,

или в виде строки из столбцов

.

Подматрицей матрицы А размера m×n называется матрица A' размера r×s, составленная из элементов матрицы А, находящихся на пересечении выбранных r строк и s столбцов. Номера выбранных строк и столбцов должны следовать в порядке возрастания.

 

 

Пример 1.

 

(строк r=3, столбцов s=4), подматрица матрицы А будет иметь вид

.

 

Пример 2.

.

Подматрица, состоящая из трех строк и двух столбцов, в данном случае имеет вид

.

Квадратной матрицей порядка n называется матрица, которая имеет столько же столбцов, сколько и строк m=n

 

Порядок – это число строк (столбцов) квадратной матрицы.

При m≠n – матрица прямоугольная.

Последовательность элементов квадратных матриц называется главной диагональю. Элементы главной диагонали называются диагональными.

Последовательность элементов квадратных матриц называется побочной диагональю.

Понятие главной диагонали и диагонального элемента распространяется и на прямоугольные матрицы.

Пример.

.

Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали, равны нулю

.

Обозначается .

Единичная матрица – диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице. Обозначается буквой Е, или I

 

 

 

Нулевая матрица – прямоугольная матрица типа m×n, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой Θ или O

.

Верхняя треугольная матрицаквадратная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю равны нулю.

Нижняя треугольная матрицаквадратная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

Пример.

 

Трехдиагональные матрицыквадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные и соседние с ними в строке (или в столбце).

Пример.

.

 

Верхняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Нижняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

 

 

Пример.

, .

Ступенчатая матрица (матрица ступенчатого вида) – прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.

Примеры.

,

 

, , .

 

С точки зрения программирования матрицы – это двумерные массивы чисел.

 

 

Действия над матрицами.

Линейные операции над матрицами.

Линейные операции над матрицами – это умножение матриц на число и сложение матриц.

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковый размер (тип) m×n, и если у них совпадают соответствующие элементы, т.е. . Обозначение А=В.

Суммой матриц и типа m×n называют матрицу того же типа m×n с элементами .

Обозначение

Пример.

.

Сумма определена только для матриц одного типа.

Произведением матрицы типа m×n на действительное число ∝ называют матрицу типа m×n с элементами . Обозначение . Пример: .

Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица получается из исходной матрицы А путем замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Пример:  

Умножение матриц.

. Обозначение : . Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк…

Следствия.

.   2. Умножение матрицы – строки А типа 1×n на матрицу – столбец В типа n×1 дает матрицу 1×1, которую…

Свойства операции умножения.

1. Умножение ассоциативно, т. е.

.

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.

.

3. А*Е=Е*А=А, где Е – единичная матрица ( для квадратной матрицы А порядка n матрица Е также имеет порядок n).

4. Для любой квадратной матрицы А порядка n и нулевой матрицы О порядка n выполняется равенство А*О=О.

5. Для любых матриц А и В типов m×n и n×k выполняется равенство , т.е. транспонирование произведения двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц:

.

Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения матрицы в натуральную степень:

.

Две степени и одной и той же квадратной матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочными .

Нулевая степень квадратной матрицы , где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида

,

где - действительные числа, т.е. многочлены от матричного аргумента.

Пример. Вычислим значение квадратного трехчлена для квадратной матрицы

.

Поскольку , то .

Вычислив

,

находим

 

.

 

Блочные матрицы.

Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе…   Например, матрицу

Умножение блочных матриц.

1. Число «блочных» столбцов матрицы А совпадает с числом «блочных» строк матрицы В (т.е. индекс для А и В изменяется в одинаковых пределах). Или… Например - размер 2×3,

Транспонирование блочной матрицы.

При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежат и ее элементы.

Пример:

.

Транспонируем блочную матрицу

 

 

Прямая сумма матриц.

, где О – нулевой блок (нулевая матрица типа m×n вверху справа и n×m… Пример.

Линейная зависимость строк и столбцов.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений , где – произвольный набор векторов - строк (столбцов) одинаковой длины (высоты); – вектор – строка (столбец).

Критерий линейной зависимости (теорема).

Следствия. Пусть строки (столбцы) линейно независимы, а хотя бы одна из строк… Столбцы

Линейная зависимость матриц.

Используя линейные операции можно составлять из матриц одинаковых размеров и чисел выражения вида , где – матрица того же размера.

Критерий линейной зависимости матриц.

Система из k>1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.

Следствия.

Если некоторые из матриц составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система линейно зависима.

Если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.

Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.

Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц , то коэффициенты разложения определены однозначно.

 

Элементарные преобразования матриц.

Элементарные преобразования играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях. Напомним, что рядом матрицы называется ее строка или столбец. Элементарными преобразованиями матриц (типами элементарных преобразований) являются:

Приведение матриц к ступенчатому виду с помощью

Элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований строк любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Алгоритм приведения. 1-й шаг. То, что матрица А типа m×n – ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю.…

Вырожденные и невырожденные матрицы.

Положение 1.Элементарные преобразования строк переводят линейно зависимые строки в линейно зависимые, а линейно независимые строки в линейно… Следствие. Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в… Положение 2. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные…

Обратная матрица.

Две матрицы могут бать перестановочными только в том случае, когда обе они – квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому обратную матрицу… Положение 1. Если у матрицы А существует обратная, то она единственная. Положение 2. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.

Основные свойства обратной матрицы.

1. (А-1)-1=А.

2. (А×В)-1-1×А-1.

3. (АТ)-1=(А-1)Т.

Способ вычисления обратной матрицы.

1. Пусть имеем квадратную матрицу А порядка n. Составим матрицу D размеров n×2n, приписав к матрице А справа единичную матрицу порядка n.

2. Элементарными преобразованиями строк преобразуем D так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу.

3. Тогда правая половина превратится в матрицу А-1.

Более подробно способы вычисления обратной матрицы будут рассмотрены ниже.

Из экзаменационных вопросов.

1. Матрицы, виды матриц.

2. Операции над матрицами и их свойства.

3. Блочные матрицы.

4. Теорема о произведении блочных матриц.

5. Элементарные преобразования матриц.

6. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Свойства.

Литература.

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Учебник. Т.1. Изд. 4-е. – М.: (в 2 ч.). Ч.1/ Дмитрий Письменный. – 10-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2010. – 288 с.: ил. – (Высшее образование). Стр. 10 – 14.

2. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т.1. Изд. 4 – е. – М.: Едиториал УРС, 2012. – 336 с. Стр. 75 – 90.

3. Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 392 с., ил. Стр. 151 -155.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – 10 – е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с. Стр. 114 - 132.

5. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 4 – е изд., испр. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд. – во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. III). Стр. 155 – 182.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Лекция, матрицы, действия, над, ними, основные, понятия, Определения0.069

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения
Основные понятия и определения... Матрицы впервые появились в середине го века в работах английских... Примечание Уильям Гамильтон ирландский математик иностранный член корреспондент Петербургской Академии Наук...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Общая схема исследования функций и построения их графиков... Общая схема исследования функций и построение их графиков Пример...

Понятие матрицы. Виды матрицы. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
а Матрицей размера m times n наз прямоугольная таблица сост из m строк и n столбцов... а а а а n... А a a a a n aij m times n aij m times n...

Лекции 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ. 2 ЛЕКЦИИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. 12 ЛЕКЦИЯ 3. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. 20 ЛЕКЦИЯ 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРОВ.. 49 Широко распространён также англоязычный вар
gl ОГЛАВЛЕНИЕ... Лекции ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ... ЛЕКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Матрицей размера mxn наз ся прямоуг таблица чисел сост из n строк и m столбцов Эл ты м цы числа составл м цу М цы обознач прописными загл б ми... Виды м цы м ца вектор столбец м ца сост из одного столбца... Трансп м цы это смена местами строк и ст в с сох м порядка следования эл тов А исходная А Ат транспонир Если...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Две матрицы считаю равными если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы...

Лекция. Работа в Microsoft Excel 2010 Лекция посвящена основам вычислений с использованием формул в Microsoft Excel 2010. 1. Даны определения основных понятий, рассмотрена структура формулы
Операторы сравнения... Операторы сравнения используются для сравнения двух значений Результатом... Текстовый оператор конкатенации...

Матрицы, основные понятия, действия над матрицами
Тема Матрицы и определители... Матрицы основные понятия действия над матрицами...

Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства
Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...

Матрицы. Действия над ними
Действия над ними...

0.029
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам