рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вырожденные и невырожденные матрицы.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Вырожденные и невырожденные матрицы.

Вырожденные и невырожденные матрицы. - раздел Математика, Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения. Квадратная Матрица Называется Вырожденной, ...

Квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Положение 1.Элементарные преобразования строк переводят линейно зависимые строки в линейно зависимые, а линейно независимые строки в линейно независимые. Элементарные преобразования столбцов переводят линейно зависимые столбцы в линейно зависимые, а линейно независимые в линейно независимые.

Следствие. Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу – в вырожденную.

Положение 2. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные преобразования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками.

Положение 3.Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу. Заметим, что единичная матрица – это канонический вид невырожденной матрицы. Если А – невырожденная матрица, то последовательность элементарных преобразований, приводящих ее к единичной матрице можно формально записать следующим образом: Т_М×…×Т₂×Т₁×А=Е, где Т₁…Т_М - элементарные матрицы.

При доказательстве этого положения применяется метод элементарных преобразований, называемый методом Гаусса, точнее, методом Гаусса - Жордана, с выбором ведущего элемента по строке, содержание которого будет изложено ниже.

Различные варианты метода Гаусса широко используются в вычислительной практике.

Положение 4.Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц. То есть, для невырожденной матрицы А

S₁×S₂×S₃×…×S_N=A, где S₁… S_N – элементарные матрицы.

Положение 5. Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена.

Следствие. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная матрица А^Т.

Положение 6. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любой столбец высоты n раскладывается по столбцам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.

Положение 7. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любая строка длины n раскладывается по строкам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения.

Основные понятия и определения... Матрицы впервые появились в середине го века в работах английских... Примечание Уильям Гамильтон ирландский математик иностранный член корреспондент Петербургской Академии Наук...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вырожденные и невырожденные матрицы.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Сумма определена только для матриц одного типа.
Аналогично определяется разность матриц. Произведением матрицы типа m×n на действительное число ∝ называют матрицу типа m×n с элементами . Обозначение . Пример:

Транспонирование матриц.
Для матрицы типа m×n ее транспонированной матрицей называют матрицу типа n×m с элементами Транспонированная матрица получается из исходной матрицы А путем заме

Умножение матриц.
Произведением матрицы типа m×n на матрицу типа n×p называют матрицу типа m×p с элементами . О

Следствия.
1. Произведением прямоугольной матрицы и матрицы – столбца является матрица – столбец . 2. Умножение матрицы – строки А типа 1×n на матрицу – столбец В типа

Блочные матрицы.
Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называются

Умножение блочных матриц.
Пусть блочные матрицы и удовлетворяют двум условиям 1. Число «блочных» столбцов матрицы А совпадает с числом «блочных» строк матрицы В (т.е. индекс для А и В изменяется в одинаковых предел

Прямая сумма матриц.
Пусть дана квадратная матрица А порядка m и квадратная матрица В порядка n . Прямой суммой матриц А и В называют квадратную блочную матрицу порядка m+n , равную , где О – нулевой

Линейная зависимость строк и столбцов.
Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы - строки и матрицы – столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми матрицами, можно выполнять линейные операции. Линейные операции на

Критерий линейной зависимости (теорема).
Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один ) из них являются линейными комбинациями остальных. Следствия. Пусть строки (стол

Линейная зависимость матриц.
Используя линейные операции можно составлять из матриц одинаковых размеров и чисел выражения вида , где – матрица того же размера. Такие выражения называю

Элементарные преобразования матриц.
Элементарные преобразования играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях. Напомним, что рядом матрицы называется ее строка или столбец.

Элементарных преобразований.
Напомним, что ступенчатой матрицей называется прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими е

Обратная матрица.
Определение.Матрица Х называется обратной для матрицы А, если Х×А=А×Х=Е, где Е – единичная матрица. Две матрицы могут бать перестановочными только в том случае