Общие понятия

Определение 3.1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа m и n называют порядком (или типом, или размерностью) матрицы; обозначают m ´ n или (m, n).

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а числа, их составляющие – элементы матрицы – строчными буквами с двумя индексами: a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Например, матрица размерности m ´ n имеет вид:

А = ,

коротко записывают А = ||a_ij|| или А = (a_ij), где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Пусть В = – конкретная матрица размерности 3 ´ 2, тогда пишут В_3´2.

Определение 3.2. Матрица называется квадратной порядка n, если число строк равно числу столбцов и равно n (то есть m = n).

Определение 3.3. Две матрицы А = (a_ij) и B = (b_ij) называются однотипными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.

Определение 3.4. Две однотипные матрицы А = (a_ij) и B = (b_ij) называют равными и пишут А = B, если a_ij = b_ij для любых индексов i, j.

Определение 3.5. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой.

Определение 3.6.Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Например, матрица-строка А_1´3 = (–2 5 1), матрица-столбец В_3´1 = .

В квадратных матрицах А = (a_ij) порядка n вводится понятие главной диагонали: a₁₁, a₂₂, …, a_nn и побочной диагонали: a_1n, a_2n–1, …, a_n1.

Определение 3.7. Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю называется диагональной, т. е. матрица вида

Определение 3.8. Квадратная матрица вида называется верхнетреугольной. Аналогично вводится понятие нижнетреугольной матрицы.

Определение 3.9. Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей порядка n, т. е. E = .

Определение 3.10. Матрица называется нулевой и обозначается O, если все ее элементы равны нулю, т. е. O = .

Определение 3.11. Квадратная матрица называется симметрической, если ее элементы подчиняются условию: a_ij = a_ji для любых индексов i, j.