Для того чтобы вычислять определители порядков, больших, чем 3, используют свойства определителей и теорему Лапласа.
Теорема 4.1 (Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.
D = аi1Аi1 + аi2Аi2 + … + аinАin, где i = 1, 2, …, n (разложение определителя по элементам i-ой строки);
D = а1jА1j + а2jА2j + … + аnjАnj, где j = 1, 2, …, n (разложение определителя по элементам j-го столбца).
Перечислим основные свойства определителей.
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.
2. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
3. Определитель треугольной (верхнетреугольной или нижнетреугольной) матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
6. Если все элементы какой- либо строки (столбца) определителя умножить на некоторое число k, то определитель умножается на это число k. (Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.)
7. Если квадратная матрица содержит две пропорциональные строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) матрицы, предварительно умноженные на одно и то же число.
9. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
11. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.