Линейная зависимость и независимость системы векторов

Пусть а₁, а₂, …, а_m множество из m штук n-мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k₁, k₂, …, k_m – произвольные действительные числа.

Определение 7.7. Линейной комбинацией системы векторов а₁, а₂, …, а_m с коэффициентами k₁, k₂, …, k_m называется вектор b = k₁×а₁ + k₂×а₂ + … + k_m×а_m.

Принято говорить: вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, …, а_m или вектор b разложен (раскладывается) по векторам а₁, а₂, …, а_m.

Пример 7.1.Даны векторы а₁ = (3, 2, –1, 0), а₂ = (–1, 0, 4, 1),
а₃ = (–2, –2, –3, –1). Найти вектор b = 2а₁ – а₂ – а₃.

Решение. b = 2а₁ – а₂ – а₃ = 2(3, 2, –1, 0) + (–1)(–1, 0, 4, 1) + (–1)(–2, –2, –3, –1) = (6, 4, –2, 0) + (1, 0, –4, –1) + (2, 2, 3, 1) = (9, 6, –3, 0).

Пример 7.2. Даны векторы а₁ = (6, 4, –2), а₂ = (–1, 0, 4),
а₃ = (–2, –2, –3). Найти вектор b = а₁ + 2а₂ + 2а₃.

Решение. b = а₁ + 2а₂ + 2а₃ = (6, 4, –2) + 2(–1, 0, 4) + 2(–2, –2, –3) =
= (6, 4, –2) + (–2, 0, 8) + (–4, –4, –6) = (0, 0, 0) = о.

Определение 7.8. Линейной оболочкой системы векторов а₁, а₂, …, а_m называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Принятое обозначение: L(а₁, а₂, …, а_m).

Из определения следует, что

L(а₁, а₂, …, а_m) = {k₁×а₁ + k₂×а₂ + … + k_m×a_m, k_i Î R}.

Если вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, …, а_m, то в этих обозначениях можно записать, что b Î L(а₁, а₂, …, а_m).

Определение 7.9. Линейная комбинация системы векторов а₁, а₂, …, а_m вида 0×а₁ + 0×а₂ + … + 0×а_m называется нулевой. Нулевая линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Определение 7.10. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда эта комбинация нулевая, то есть

k₁×а₁ + k₂×а₂ + … + k_m×a_m = о Û k₁ = 0, k₂ = 0, …, k_m = 0.

Равносильное определение линейно независимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один вектор нельзя выразить через остальные векторы.

Определение 7.11. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты k₁, k₂,…, k_m, не все одновременно равные нулю и такие, что k₁×а₁ + k₂×а₂ + … + k_m×a_m = о.

Равносильное определение линейно зависимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда в этой системе существует хотя бы один вектор, который линейно выражается через остальные.

Если система векторов состоит только из одного вектора, то эта система линейно зависима, если этот вектор нулевой, и линейно независима, если он ненулевой.

Система векторов, содержащая два вектора, линейно зависима в случае пропорциональности координат этих векторов, и линейно независима в противном случае.