Пусть S – система векторов пространства Rn; она может быть как конечной, так и бесконечной. S' – подсистема системы S, S' Ì S. Дадим два равносильных определения.
Определение 7.14. Базисом системы S называется такая ее подсистема S', что
1) система S' линейно независима;
2) каждый вектор системы S линейно выражается через векторы системы S'.
Определение 7.15. Базисом системы S называется максимальная линейно независимая ее подсистема S', то есть
1) система S' линейно независима;
2) если к S' добавить любой вектор из системы S, то получится линейно зависимая система.
Рассмотрим линейно независимую систему векторов; она совпадает со своей максимальной линейно независимой подсистемой. Это означает, что базис такой системы совпадает с ней самой. Базис ступенчатой системы векторов тоже совпадает с ней самой, в силу ее линейной независимости.
Теорема 7.3. Два различных базиса одной и той же системы векторов содержат одинаковое количество векторов.
Доказательство. Пусть S –данная система векторов. Векторы а1, а2, …, аm – базис S' системы S, векторы b1, b2, …, bk – базис S'' системы S. Так как а1, а2, …, аm – базис, то b1, b2, …, bk Î L(а1, а2, …, аm) и b1, b2, …, bk линейно независимы, тогда по следствию из двух терем 7.1 и 7.2 k £ m.
Так как b1, b2, …, bk – базис, то а1, а2, …, аm Î L(b1, b2, …, bk) и а1, а2, …, аm – линейно независимы, тогда по тому же следствию m £ k, и окончательно получаем, что m = k. Теорема доказана.
Базис пространства Rn
Векторы e1, e2, …, en образуют базис пространства Rn, так как e1, e2, …, en – линейно независимы, и каждый вектор из Rn линейно выражается через эти векторы. По предыдущей теореме 7.3 в другом базисе Rn должно быть столько же векторов, сколько и в этом, то есть n. Сформулируем этот вывод в виде теоремы.
Теорема 7.4. Базисы пространства Rn – это в точности все линейно независимые системы, состоящие из n векторов.
Другими словами, система, состоящая из n линейно независимых векторов – это базис, и наоборот, базис Rn – это система, состоящая из n линейно независимых векторов.