Координаты вектора относительно данного базиса

Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e₁, e₂, …, e_n образуют его базис. Пусть a – произвольный вектор пространства V, тогда вектор линейно выражается через векторы базиса, a = a₁e₁ + a₂e₂ + … + a_ne_n.

Теорема 8.8. Разложение вектора a по векторам базиса производится единственным образом.

Доказательство. Предположим, что вектор a можно разложить по векторам базиса двумя способами:

a = a₁e₁ + a₂e₂ + … + a_ne_n.

a = a'₁e₁ + a'₂e₂ + … + a'_ne_n.

После вычитания из одного равенства другого, получим

(a₁ – a'₁) e₁ + (a₂ – a'₂)e₂ + … + (a_n – a'_n)e_n = 0,

из чего в силу линейной независимости базисных векторов e₁, e₂, …, e_n следует, что a₁ – a'₁ = 0, a₂ – a'₂ = 0, …, a_n – a'_n = 0, а затем что a₁ = a'₁, a₂ = a'₂, …, a_n = a'_n. Таким образом, коэффициенты разложения определяются однозначно. Теорема доказана.

Определение 8.13. Координатами вектора a относительно базиса e₁, e₂, …, e_n называются коэффициенты разложения вектора a по базисным векторам.

Координаты вектора принято записывать или в виде строки координат (координатной строки) – (a₁, a₂, …, a_n), или в виде координатного столбца: [a] = .

Пример 8.7. 1) В пространстве R^2´2 вектор A = раскладывается по векторам базиса Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ следующим образом: А = 2Е₁ – Е₂ + 4Е₃ + 7Е₄, следовательно, координатная строка этого вектора равна (2, –1, 4, 7).

2) В пространстве выбран базис а₁ = (1, 3, –1), а₂ = (–2, 1, 1),
а₃ = (2, –2, –1). Найти координаты вектора a = (3, 0, –2) относительно базиса а₁, а₂, а₃. Векторное равенство a = x₁а₁ + x₂а₂ + x₃а₃ перепишем в виде системы линейных уравнений Решая эту систему, получим x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 2, следовательно, координатная строка вектора a равна (1, 1, 2).

Каждому вектору a из произвольного векторного пространства V, в котором задан базис e₁, e₂, …, e_n, сопоставляется строка (или столбец) координат (a₁, a₂, …, a_n), причем единственным образом. Если V пространство размерности n, то строка координат принадлежит пространству Rⁿ, то есть возникает отображение: V ® Rⁿ. Обратно, по строке координат (a₁, a₂, …, a_n), (по вектору из Rⁿ) единственным образом можно построить вектор a = a₁e₁ + a₂e₂+ … + a_ne_n. Для этого отображения верна следующая теорема.

Теорема 8.9. Если векторы а₁, а₂, …, а_m из произвольного пространства V образуют линейно независимую систему векторов, то их строки (или столбцы) координат тоже линейно независимы.