Координаты вектора в различных базисах

Пусть V – n-мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e₁, e₂, …, e_n – старый базис, e'₁, e'₂, …, e'_n – новый базис. У произвольного вектора a есть координаты в каждом из них:

a = a₁e₁ + a₂e₂+ … + a_ne_n;

a = a'₁e'₁ + a'₂e'₂+ … + a'_ne'_n.

Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:

e'₁ = a₁₁e₁ + a₂₁e₂+ … + a_n1e_n,

e'₂ = a₁₂e₁ + a₂₂e₂+ … + a_n2e_n,

………………………………..

e'_n = a_1ne₁ + a_2ne₂+ … + a_nne_n.

Определение 8.14. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису называется матрица, составленная из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, записанных в столбцы, т. е.

T = .

Столбцы матрицы T – это координаты базисных, а значит, линейно независимых, векторов, следовательно, эти столбцы линейно независимы. Матрица с линейно независимыми столбцами является невырожденной, ее определитель не равен нулю и для матрицы T существует обратная матрица T ^–1.

Обозначим столбцы координат вектора a в старом и новом базисах, соответственно, как [a] и [a]'. С помощью матрицы перехода устанавливается связь между [a] и [a]'.

Теорема 8.10. Столбец координат вектора a в старом базисе равен произведению матрицы перехода на столбец координат вектора a в новом базисе, то есть [a] = T [a]'.

Следствие. Столбец координат вектора a в новом базисе равен произведению матрицы, обратной матрице перехода, на столбец координат вектора a в старом базисе, то есть [a]' = T ^–1[a].

Пример 8.8. Составить матрицу перехода от базиса e₁, e₂, к базису e'₁, e'₂, где e'₁ = 3e₁ + e₂, e'₂ = 5e₁ + 2e₂, и найти координаты вектора a = 2e'₁ – 4e'₂ в старом базисе.

Решение. Координатами новых базисных векторов относительно старого базиса являются строки (3, 1) и (5, 2), тогда матрица T примет вид . Так как [a]' = , то [a] = × = .

Пример 8.9. Даны два базиса e₁, e₂ – старый базис, e'₁, e'₂ – новый базис, причем e'₁ = 3e₁ + e₂, e'₂ = 5e₁ + 2e₂. Найти координаты вектора a = 2e₁ – e₂ в новом базисе.

Решение. 1 способ. По условию даны координаты вектора а в старом базисе: [a] = . Найдем матрицу перехода от старого базиса e₁, e₂ к новому базису e'₁, e'₂. Получим матрицу Т = для нее найдем обратную матрицу T ^–1 = . Тогда согласно следствию из теоремы 8.10 имеем [a]' = T ^–1[a] = × = .

2 способ. Так как e'₁, e'₂ базис, то вектор а раскладывается по базисным векторам следующим образом a = k₁e'₁ – k₂e'₂. Найдем числа k₁ и k₂ – это и будут координаты вектора а в новом базисе.

a = k₁e'₁ – k₂e'₂ = k₁(3e₁ + e₂) – k₂(5e₁ + 2e₂) =

= e₁(3k₁ + 5k₂) + e₂(k₁ + 2k₂) = 2e₁ – e₂.

Так как координаты одного и того же вектора в данном базисе определяется однозначно, то имеем систему: Решая данную систему, получим k₁ = 9 и k₂ = –5, т. о. [a]' = .