Ортогональное дополнение подпространства

V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство.

Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор а ортогонален любому вектору из подпространства L, т. е.

а ^ L Û а ^ х, " х Î L.

Определение 8.24. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L^* всех векторов, ортогональных подпространству L, то есть L^* = {x | x ^ L}.

Теорема 8.13. Ортогональное дополнение подпространства является подпространством.

Теорема 8.14. Прямая сумма подпространства L и его ортогонального дополнения L^* равна пространству V, т. е. L Å L^* = V.

Пример 8.13. Найти ортогональное дополнение подпространства L, натянутого на векторы а₁ = (1, 1, 1, 1), а₂ = (–1, 1, –1, 1), а₃ = (2, 0, 2, 0).

Решение. Для того чтобы вектор x был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален векторам системы образующих этого подпространства. Пусть х = (х₁, х₂, х₃, х₄), запишем условие ортогональности этого вектора векторам а₁, а₂, а₃: (х, а₁) = 0, (х, а₂) = 0, (х, а₃) = 0. В координатной форме эти условия представляют собою однородную систему линейных уравнений: Множество решений этой системы представляет собою подпространство L^*, ортогональное подпространству L.

Решая систему, получим фундаментальный набор решений:
с₁ = (–1, 0, 1, 0), с₂ = (0, –1, 0, 1). Эти векторы образуют базис множества решений системы, то есть базис L^*, т. о. L^* = L(с₁,с₂), dim L^* = 2.