1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению.
Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями l1 и l2. Тогда j(x) = l1х и j(x) = l2x. Отсюда l1х = l2x Þ
(l1 – l2)x = 0 и так как вектор x ненулевой, то (l1 – l2) = 0 Þ l1 = l2.
2. Если вектор x – собственный вектор линейного оператора j с собственным значением λ, то вектор y = kx (k ¹ 0) тоже собственный с тем же собственным значением λ.
Доказательство. j(y) = j(kx) = kj(x) = k(lx) = l(kx) = ly. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора j с собственным значением l.
3. Множество собственных векторов с одним и тем собственным значением λ при добавлении нулевого вектора образует подпространство пространства V.
Доказательство. Обозначим это множество символом L(l). Докажем, что множество L(l) È {o} образует подпространство пространства V, для чего проверим его замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на элемент поля.
Пусть x, y Î L(l) È {o}, тогда j(x) = lх, j(y) = ly. Найдем j(x + y): j(x + y) = j(x) + j(y) = lх + ly = l(х + y), значит (х + y) Î L(l) È {o}.
Пусть x Î L(l) È {o}, k Î P, j(x) = lх, тогда j(kx) = kj(x) = k(lх) = l(kх), значит kх Î L(l) È {o}.
4. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.
Следствие. Линейный оператор, заданный в n-мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n различных собственных значений.