"Линейная алгебра” Пермь 2010

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермский государственный технический университет

Учебное пособие

Для выполнения практических и контрольных работ

"Линейная алгебра”   Пермь 2010

Пояснительная записка

Методические указания представляют собой руководство к решению задач раздела "Линейная алгебра" курса "Элементы высшей математики" для студентов специальностей СПО на базе среднего (полного) общего образования.

Основное назначение пособия – помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя изучить приемы решения основных задач, закрепить полученные навыки при выполнении практических работ и подготовиться к зачету по данному разделу.

 

Определение матрицы. Действия над матрицами и векторами.

Матрицы

Виды матриц. Векторы

Равенство матриц

Линейные операции над матрицами

Умножение матриц

Свойства умножения матриц

Матрицы

  Для любого элемента aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращенно…

Виды матриц. Векторы

А = , В = .   Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются…

Равенство матриц

Так, матрицы А = и В = равны, если a11 = b11, a12 = b12, a13 = b13, a21 = b21, a22 = b22, a23 = b23. Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они… Если в матрице типа т×п, имеющей вид

Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа т×п , или квадратные порядка п.

Пусть А = , B = .

Тогда сумма матриц С = А + В имеет вид

С = ,

где c₁₁ = a₁₁ + b₁₁, c₁₂ = a₁₂ + b₁₂, … c_ij = a_ij + b_ij, …, c_mn = a_mn + b_mn.

1. Сложить матрицы А и В, если: а) А = , В = ; б) А = , В = ; в) А = , В = . Р е ш е н и е: а) Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В = . б) Здесь А и В – квадратные матрицы третьего порядка. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В = . В) Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, т.к. А есть матрица типа 3×2, а В – матрица типа 2×3; можно складывать только прямоугольные матрицы одного типа.

 

Из выше изложенного следует, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) переместительный закон сложения: А + В = В + А, где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;

2) сочетательный закон сложения: (А + В) + С = А + (В + С), где А, В и С - либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;

Для любой матрицы А существует матрица – А, такая, что А + (- А) = 0, т.е. матрица, противоположная А.

 

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой ka_ij, т.е. если А = , то kA = .

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

 

2. Умножить матрицу А = на число k = 3. Р е ш е н и е. 3А = .   3. Найти матрицу, противоположную матрице А = . Р е ш е н и е . Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу А на k = -1. - А = . 4. Найти линейную комбинацию 3А – 2В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Сначала находим произведение А на k1 = 3 и k2 = -2. 3А = , -2В = . Теперь найдем сумму полученных матриц: 3А – 2В = .

 

 

1. Умножение матриц

 

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть

А = , B = .

Произведением этих матриц называется матрица

С = АВ = .

Чтобы найти элемент с₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b₁₁ и b₂₁) и полученные произведения сложить: c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁.

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i – той строки и j – того столбца матрицы-произведения, нужно все элементы i – той строки (а_i1, а_i2, …, а_in) матрицы А умножить на соответствующие элементы j – того столбца (b_1j, b_2j, …, b_nj) матрицы B и полученные произведения сложить.

 

5. Найти произведение матриц А и В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Найдем каждый элемент матрицы-произведения: c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 3·1 + 1·2 + 1·1 = 6; c12 = a11b12 + a12b22 +a13b32 = 3·1 + 1·(-1) + 1·0 = 2; c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 3·(-1) + 1·1 + 1·1 = -1; c21 = a21b11 +a22b21 + a23b31 = 2·1 + 1·2 + 2·1 = 6; c22 = a21b12 + a22b22 +a23b32 = 2·1 + 1·(-1) + 2·0 = 1; c23 = a21b13 +a22b23 +a23b33 = 2·(-1) + 1·1 + 2·1 = 1; c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 1·1 + 2·2 + 3·1 = 8; c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 1·1 + 2·(-1) + 3·0 = -1; c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 1·(-1) + 2·1 + 3·1 = 4. Следовательно, С = .

 

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.

 

6. Найти произведение АВ, если А = Р е ш е н и е. АВ =

 

Если в этом примере мы попытаемся найти произведение ВА, то убедимся, что это невозможно.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

 

1. Свойства умножения матриц

 

Пусть А = , В = . Найдем произведения АВ и ВА:

АВ =

ВА = .

 

Видно, что АВ≠ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Можно проверить, что для умножения матриц выполняется сочетательный и распределительный законы умножения: А(ВС) = (АВ С, (А +В)С = АВ + ВС.

Отметим следующий любопытный факт. Известно, что произведение двух, отличных от нуля чисел, не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если А = В = , то

АВ = .

 

 

Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и

третьего порядков

Основные свойства определителей

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца

 

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков

А = . Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной… Определитель второго порядка записывается так:

Основные свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать): .  

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Например, минор М12, соответствующий элементу а12 определителя D = получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца

D = ai1Ai1 + ai2Ai2 +…+ainAin или D = a1jA1j + a2jA2j +…+anjAnj.

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков

Определение обратной матрицы

Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

Определение обратной матрицы

Если А — квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает… Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем А-1А = АА-1 = Е.

Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1°. Находят определитель матрицы А. 2°. Находят алгебраические дополнения всех элементов аij матрицы А и… 3°. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспо­нируют матрицу).

Решение простейших матричных уравнений

Простейшие матричные уравнения и их решение

Решение системы линейных уравнений в матричной форме

Простейшие матричные уравнения и их решения

Пусть дана система уравнений

Решение систем линейных уравнений в матричной форме

  2. Решить матричным способом систему уравнений Р е ш е н и е. Составим матричное уравнение АХ = В, где А = , Х = , В = …  

Решение линейных уравнений по формулам Крамера

Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений Теорема. Система п уравнений с п неизвестными, определи­тель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом…

Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

  Решить систему уравнений Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы ∆ и определители ∆x и ∆y . ; =;…    

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

При выполнении прямого хода используют следующие пре­образования: 1) умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же… 2) сложение и вычитание уравнений;

Вопросы к зачету

2. Что называется матрицей-строкой? матрицей-столбцом? вектором? 3. Какие матрицы называются прямоугольными? квадратными? 4. Какие матрицы называются равными?

Задания для проверочных работ

I. «Действия над матрицами»

1. Вычислить линейные комбинации матриц:

 

а) 2А – В , если А =( ), В = .

 

б) 3А + 2В, если А = , В = .

 

1. Найти АВ – ВА, если А = , В = .
2. Найти АЕ, если А = , Е = .
3. Найти ЕА, если А = , Е = .

5. Найти ЗА * 2В, если А = , В =

 

II. «Определитель матрицы »

1. Вычислить определители:

 

а) ; б) .

 

1. Вычислить определители

 

а) ; б) ; в) .

1. Записать все миноры определителя .

 

1. Найти алгебраические дополнения элементов а₁₂, а₂₂, а₃₂ определителя

D = .

1. Вычислить определители с помощью разложения по элементам строки или столбца:

 

а) ; б) ; в) .

 

 

III. «Обращение матриц. Простейшие матричные уравнения»

1. Найти матрицы, обратные заданным:

 

а) б) ; в)

 

1. Решить матричное уравнение:

 

Х = .

 

1. Решить системы линейных уравнений матричным способом:

а) б)

 

 

в)

 

IV. «Решение систем линейных уравнений»

1. Решить по формулам Крамера:

 

а) б)

 

1. Решить методом Гаусса:

 

а) б)

 

в)

 

Литература:

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2004

2. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика: Учебное пособие. – М.: ИКТЦ "Маркетинг", 2002.