Розв‘язання системи лінійних рівнянь методом Крамера

Розглянемо метод розв‘язаннясистеми лінійних алгебраїчних рівнянь, якій заснований на теоремі Крамера.

Система n рівнянь з n невідомими

(2.6)

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, те система (2.6) має єдине розв‘язання і воно знаходиться за формулою:

x_i = D_i/D , (2.7)

де D = det A, а D_i – визначник матриці, що утримується з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів b_i.

D_i = . (2.8)

Формули обчислення невідомих (2.7) носять назву формул Крамера. Таким чином, правило Крамера дозволяє знайти єдине розв‘язання системи (2.6) або зробити вивід про існування нескінченного числа розв‘язків або про їх відсутність:

1) Якщо система (2.6) має єдине розв‘язання, яке визначається за формулами:

.

2) Якщо == 0, система має нескінченно багато розв‘язків.

3) Якщо = 0, а хоч би один з ≠ 0 система не має розв‘язків.

Якщо система однорідна, тобто b_i = 0, то при D ¹ 0 система має єдине нульовий розв‘язок x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

Приклад. Знайти розв‘язок системи рівнянь:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = D₁/D = 1;

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x₂ = D₂/D = 2;

D₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x₃ = D₃/D = 3.

2.4. Задачі для самостійного розв‘язання