Обратная матрица. Решение матричных уравнений

№21

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

 

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Тогда: Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и… Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

 

 

№22

Линейные пространства

  Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и… 1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

Линейные подпространства

Определение. Подмножество X1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X1 и любого числа α… x + y О X1 ; αx О X1 .

Матрица линейного преобразования

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его… Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора…

Произведение линейного преобразования на число.

Пусть – линейное преобразование линейного пространства L над полем и k – любое число из . Линейное преобразование произвольному вектору ставит в… k∙=(). Это преобразование пространства называют произведением преобразования на число и обозначают :

Сложение и вычитание линейных преобразований.

Пусть даны линейные преобразования и линейного пространства . Если любой вектор из , то =и =‑ векторы из . Если вектору поставим в… Итак, по определению (+)=+=+.

Умножение линейных преобразований.

В линейном пространстве даны линейные преобразования и . Результат последовательного выполнения линейных преобразований и является преобразованием… Теорема 5. Произведение линейных преобразований и линейного пространства является линейным преобразованием этого…

Свойства линейных операций над матрицами

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают…   Для любых матриц одинаковых размеров и любых чисел справедливы равенства:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

 

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

№29

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

 

 

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

 

 

Норма вектора

1. 2. (неравенство треугольника); 3.

Формулировка

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и …

Комментарии

В общем случае:

Примеры

· В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает комплексное сопряжение .

· В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

· В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает ковариацию, а — дисперсию.

Доказательство

Значит дискриминант многочлена неположительный, то есть

Квадратичные формы

  Квадратичная форма переменных - функция

Канонический вид квадратичной формы

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е. Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно…