1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
Две матрицы считаю равными, если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы.
Если mxn, то матрицу называют квадратной, если нет – прямоугольной.
Главной диагональю называют множество элементов, имеющих одинаковые индексы.
Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю.
Если все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, то матрицу называют единичной и обозначают Е.
Матрицу называют треугольной, или верхнеугольной, если все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.
Транспонированной по отношению к матрице Аназывают матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Обозначают A’.
Суммой (разностью) двух матрицA={aij} и B={bij} называют матрицу С={cij}, состоящую из элементов
cij = aij + bij (cij = aij + bij)
Произведением числа l и матрицы A={aij}называют матрицу С={cij}, состоящую из элементов cij =l aij.
Произведением матрицы A={aij} размером mxn на матрицу B={bij} размером nxk,называют матрицу С={cij} размером mxk, элементами которой являются различные произведения строк матрицы А на столбцы матрицы В.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Определителем матрицы А размера 2x2 называют число, полученное из разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали.
Определителем матрицы А размером 3x3 называется число, вычисленное по правилу, изображённому на схеме.
В качестве определителя n-го порядка примем формулы из свойства 11
, i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, n
Свойство 11 (теорема Лапласса). Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна определителю.
, i = 1, 2, 3 , j = 1, 2, 3
Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
Невырожденные (неособенные) матрицы:
Вырожденные (особенные) матрицы:
Присоединенной матрицей матрицы называется матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы .
Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.
Обратная матрица обозначается А-1.
АА-1 = А-1А = Е
Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.
Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем
1 = │Е│ = │ А ∙ А-1│= │А│ ∙ │А-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.
Алгоритм построения обратной матрицы:
1)вычислить │А│. Если │А│= 0, то по доказательству А-1 не существует. На этом вычисления заканчиваются. переходим к следующему этапу.
2)выписать транспонированную матрицу А'.
3)составляем матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы А'. Матрица называется присоединённой к матрице А.
4)выписываем ответ по формуле А-1 = .
5)делаем проверку: проверяем равенства А ∙ А-1 = Е и А-1 ∙ А = Е.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
Рассмотрим матрицу А размером mxn. Выделим в матрице любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го порядка. Его называют минором матрицы А порядка k.
Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Иными словами, число r называется рангом ненулевой матрицы А, если:
1) у матрицы А есть ненулевой минор порядка r;
2) всякий минор порядка (r+1) и выше равен нулю.
Ранг матрицы А обозначается символом rangA.
Матрицу называют ступенчатой, если каждая её строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущий.
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.
Обратная матрица и её нахождение методом присоединённой матрицы
Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.
Обратная матрица обозначается А-1.
АА-1 = А-1А = Е
Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.
Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем
1 = │Е│ = │ А ∙ А-1│= │А│ ∙ │А-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.
Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
Система линейных однородных уравнений
всегда имеет нулевое решение.
Теорема 7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда rangA < n, где n-число неизвестных.
Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
Вектором называется направленный отрезок АВ с началом в точке А, называемой хвостом, и концом в точке В, называемой головой. Вектор принято так же обозначать строчной латинской буквой .
Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.
Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.
Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
Линию, задаваемую уравнением второго порядка, называют кривой второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Нормальное уравнение окружности:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2
Каноническое уравнение эллипса:
a и b – полуоси, точки пересечения с осями – вершины.
Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
Каноническое уравнение гиперболы:
a и b – полуоси, точки пересечения с осями – вершины.
Прямая - асимптоты гипрболы.
Точка с координатами (с;0) и (-с;0), где с= называется фокусами.
Каноническое уравнение параболы: y2 = 2px.
Число р – параметр параболы, точка (0;0) – вершина. Точка с координатами называется фокусом, а прямая - директрисой. Все точки параболы находятся на равном расстоянии от фокуса и директрисы.
Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + В = 0 в предположении, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Если хотя бы один из коэффициентов равен 0, то уравнение плоскости называет неполным
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.