Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
| (3.2) |
Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.
Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).
Теорема (О ранге матрицы).Строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают. (Ранг матрицы - число линейно независимых строк (столбцов) матрицы )
Доказательство.Рассмотрим образ отображения . Образ состоит из всевозможных линейных комбинаций строк матрицы А, следовательно, размерность образа равна строчному рангу матрицы А.
Из представления , следует, что ядро имеет размерность равную (n – столбцовый ранг), значит, размерность образа равна n-(n-столбцовый ранг) = столбцовый ранг.
Таким образом строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают.
Что и требовалось доказать.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:
1) перестановку двух уравнений местами;
2) умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;
3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;
4) отбрасывание нулевых уравнений.
Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.
Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, поэтому для сокращённой записи их обычно выполняют не с системой уравнений, а с её расширенной матрицей.
Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D с помощью элементарных преобразований сначала к ступенчатому виду (прямой ход), а затем по возможности – к диагональному виду (обратный ход). Возникающая в процессе преобразования система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения.
Между прямым и обратным ходом применяются два правила:
1) если в последней строке до черты есть ненулевые числа, то система совместна, если наоборот – несовместна.
2) если все ступеньки короткие, то система является определённой, если наоборот – неопределённой.
Если система оказалась совместной, переходим к обратному ходу: использование элементарных преобразований делает нули над началами ступенек, по возможности превращаем в +1. В результате возникает система, решаемая тривиальным способом.
Если система несовместна – решений нет.
Теорема 6 (Кронекера - Капелли). Если rangD > rangA, то система несовместна. Если же rangD = rangA, то система совместна.
8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.